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por Claudin » Ter Out 18, 2011 21:44
Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos).
a) A= (4, -1, 1) ; B= (9, -4, 2) ; C= (4, 3, 4) ; D= (4, -21, -14)
RESOLUÇÃO
AB = (5, -3, 1)
AC = (0, 4, 3)
AD= (0, -20, -15)
Não consegui compreender o porque da resposta correta, dizer que não é um paralelogramo, baseado em qual fundamento?
b) a) A= (4, -1, 1) ; B= (9, -4, 2) ; C= (4, 3, 4) ; D= (9, 0, 5)
RESOLUÇÃO
AB = (5, -3, 1)
AC = (0, 4, 3)
AD= (5, 1, 4)
Não consegui compreender o porque da resposta correta, dizer que é um paralelogramo, baseado em qual fundamento?
OBS:Devido a essa dúvida quero que seja reforçado o conceito de o que é preciso para ser um paralelogramo. Não seria dois lados paralelos e iguais?
"O que sabemos é uma gota, o que não sabemos é um oceano." - Isaac Newton
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por LuizAquino » Sáb Out 22, 2011 21:31
Definição
Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.
Note que como consequência dessa definição, temos que os lados opostos de um paralelogramo possuem a mesma medida.
Considere então que sejam dados os vértices A, B, C e D de um quadrilátero. Para que eles formem (nesta ordem) um paralelogramo, devem ocorrer as duas condições:
(i)
é paralelo a
;
(ii)
é paralelo a
.
No caso do exercício foram fornecidos os quatro vértices de um quadrilátero, mas
não necessariamente consecutivos. Desse modo, para testar se eles formam ou não um paralelogramo, comece testando as condições (i) e (ii). Os possíveis resultados estão dispostos na tabela verdade abaixo.
Como você pode ver na tabela, o problema é quando ocorre V e F (ou o contrário, F e V). Nesses casos, apenas testar (i) e (ii) não é conclusivo. Vejamos então como proceder.
Caso ocorra V e F, teste se
é paralelo a
. Se esse teste resultar em V, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são.
Caso ocorra F e V, teste se
é paralelo a
. Se esse teste resultar em V, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são.
Agora tente aplicar essas ideias no exercício.
ObservaçãoTalvez você esteja se perguntando: "mas por que os casos V e F (ou F e V) são inconclusivos?"
Para o caso V e F, veja a figura abaixo.
- caso-V-e-F.png (3.52 KiB) Exibido 9704 vezes
Note que A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo. Entretanto,
é paralelo a
enquanto que
não é paralelo a
.
Já para o caso F e V, veja a figura abaixo.
- caso-F-e-V.png (2.95 KiB) Exibido 9704 vezes
Novamente note que A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo. Entretanto,
não é paralelo a
enquanto que
é paralelo a
.
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por Claudin » Dom Out 23, 2011 19:29
Obrigado Luiz Aquino.
Consegui provar o paralelismo dos vetores através de múltiplos escalares.
- Mas outra pergunta seria, o modo ao qual posso esboçar o paralelogramo não depende do modo que eu desenhe? Irá dar o mesmo resultado, pois não é necessariamente consecutivos, ou seja, se fosse com lados consecutivos como seria o esboço correto?
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por LuizAquino » Seg Out 24, 2011 11:22
Claudin escreveu:o modo ao qual posso esboçar o paralelogramo não depende do modo que eu desenhe?
Considere quatro pontos genéricos A, B, C e D. Considere ainda que seja informado que eles são os vértices de um paralelogramo, mas não necessariamente consecutivos. Entretanto, nenhuma outra informação foi fornecida.
Nesse contexto, é
óbvio que há infinitos esboços possíveis para esse paralelogramo. Afinal de contas, não foi fornecida nenhuma outra informação que identifique unicamente esse paralelogramo.
Por outro lado, considere que os pontos A, B, C e D foram identificados. Por exemplo, imagine que eles sejam A=(1, 1), B=(5,3), C=(2, 3) e D = (4, 1). Fixado o sistema de eixos, só haverá um esboço para esse paralelogramo. Ele será como ilustra a figura abaixo.
- paralelogramo.png (7.7 KiB) Exibido 9694 vezes
Claudin escreveu:se fosse com lados consecutivos como seria o esboço correto?
Considere que seja informado que os pontos A, B, C e D são
vértices (e não "lados" como você disse) consecutivos de um paralelogramo. Se nenhuma outra informação for fornecida, então novamente teremos infinitos esboços. Entretanto, haverá algo em comum nesses esboços: os vértices estão na "ordem" A, B, C e D.
Por exemplo, duas possibilidades seriam como ilustra a figura abaixo.
- paralelogramo-exemplos.png (7.13 KiB) Exibido 9694 vezes
No exemplo da esquerda, considerando o sentido anti-horário a partir de
A, temos a sequência de vértices:
.
Já no exemplo da direita, considerando o sentido horário a partir de
A, também temos a sequência de vértices:
.
Em ambos os exemplos, dizemos que A, B, C e D (nesta ordem) são vértices "consecutivos" do paralelogramo.
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por Claudin » Seg Out 24, 2011 21:15
Correto, então quando for não consecutivo tem que testar AB, AC, AD, BC, CD
e quando for consecutivo?
Essa matéria é muito abstrata e difícil de compreender o pensamento dos outros
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por LuizAquino » Ter Out 25, 2011 15:59
Claudin escreveu:Correto, então quando for não consecutivo tem que testar AB, AC, AD, BC, CD
e quando for consecutivo?
O processo é o mesmo. Basta seguir o que expliquei sobre as condições (i) e (ii).
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por Claudin » Ter Out 25, 2011 18:55
Correto.
Tenho q analisar se AB é paralelo a CD, e se AC é paralelo a BD, caso seja consecutivo. E só isto basta?
Acho que não compreendi sua explicação ainda, determinar qual é paralelo com qual eu sei, e depois o que fazer
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por LuizAquino » Ter Out 25, 2011 19:45
Claudin escreveu:Acho que não compreendi sua explicação ainda, determinar qual é paralelo com qual eu sei, e depois o que fazer
Considere que sejam dados os vértices
A,
B,
C e
D de um quadrilátero (não importando se são ou não consecutivos). Para testar se eles formam um paralelogramo, então siga os passos que já expliquei:
- Teste as condições:
(i) é paralelo a ;
(ii) é paralelo a ;
- Se (i) e (ii) forem verdadeiras, então os vértices são de um paralelogramo;
- Se (i) é verdadeira e (ii) é falsa, então verifique se é paralelo a . Se eles forem paralelos, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são;
- Se (i) é falsa e (ii) é verdadeira, então verifique se é paralelo a . Se eles forem paralelos, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são;
- Se (i) e (ii) forem falsas, então os vértices não são de um paralelogramo.
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Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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