Dúvida... A prova é hoje (Distância entreo ponto e o plano)

por **valeuleo** » Ter Mai 10, 2011 12:20

Estou resolvendo uma lista de geometria analítica e me deparei com uma questão onde o resultado que obtenho nuca é igual ao da apostila. A questão é:

Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1), B(1,1,-3) e C(-1,3,0).

Eu obtenho a resposta $\frac{25 \sqrt[]{174}}{174}$ . Mas a correta é $\frac{5\sqrt[]{174}}{58}$

Me ajudem é urgente. Fiz todos os cálculos através da fórmula D = $\frac{\left|ax+by+cz+d \right|}{\left|\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}} \right|}$

Escolhi os valores do ponto A para representarem x, y e z.

por **LuizAquino** » Qua Mai 11, 2011 10:30

O plano deve conter os pontos:
A = (3, 3, 1)
B = (1, 1, -3)
C = (-1, 3, 0)

Temos que:
$\vec{AB} = (-2,\, -2,\, -4)$
$\vec{AC} = (-4,\, 0,\, -1)$

O vetor normal a esse plano será:
$\vec{n} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -2 & -2 & -4 \\ -4 & 0 & -1\end{vmatrix} = 2\vec{i} + 14\vec{j} - 8\vec{k}$

O plano contém, por exemplo, o ponto A. Sendo assim, temos que:
2(x - 3) + 14(y - 3) - 8(z - 1) = 0
x + 7y - 4z - 20 = 0

A distância entre o ponto D = (2, 3, 3) e esse plano será:
$d = \frac{|2 + 7\cdot 3 - 4\cdot 3 - 20|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-4)^2}} = \frac{3\sqrt{66}}{22}$

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