Questão prova concurso (maior valor de y)

por **fernandocez** » Dom Mar 06, 2011 12:34

Caros amigos mais uma questão que tentei e não consegui resolver.

50. Considere todos os valores reais de x e y que satisfazem a equação ${x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y=68$ . O maior valor possível de y é:
resp.: 11

Eu não sabia como fazer, fiz assim:
Usei a equação da circunferência: x²+y²-2ax-2ay+(a²+b²-r²) = ${x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y=68$
Encotrei:
a=3
b=2
r=9

Desenhei o gráfico e pensei que tinha alguma ligação com círculo quando passa no maior ponto de y. Tem a ver? Aguardo uma ajuda.

por **MarceloFantini** » Dom Mar 06, 2011 12:57

Sim, o maior valor de y será o valor do centro mais o raio, que é o ponto mais alto da circunferência. Assim, $y_{max} = 2+9 = 11$ . Se ele pedisse o mínimo, seria o centro menos o raio. Se ele pedisse mais afastado em x, seria o equivalente só que usando coordenadas do x.

por **LuizAquino** » Dom Mar 06, 2011 12:59

Dica

Note que a equação ${x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y=68$ é a mesma que $(x-3)^{2}+(y-2)^{2} = 81$ .

por **fernandocez** » Dom Mar 06, 2011 13:58

Fantini escreveu:Sim, o maior valor de y será o valor do centro mais o raio, que é o ponto mais alto da circunferência. Assim, $y_{max} = 2+9 = 11$ . Se ele pedisse o mínimo, seria o centro menos o raio. Se ele pedisse mais afastado em x, seria o equivalente só que usando coordenadas do x.

Valeu amigo, agora vendo o gráfico ficou claro. Eu até desenhei quase isso, mas nem sempre o que parece é.

por **fernandocez** » Dom Mar 06, 2011 14:06

LuizAquino escreveu:Dica

Note que a equação ${x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y=68$ é a mesma que $(x-3)^{2}+(y-2)^{2} = 81$ .

Oi Luiz, eu "simplifiquei" a expressão e realmente são iguais mas vc poderia dizer a relação com o problema que acredito ser importante prá minha aprendizagem. Visto que tenho que aprender muita coisa prá passar nesse concurso ou nos próximos que virá.

por **Renato_RJ** » Dom Mar 06, 2011 14:22

fernandocez escreveu:
LuizAquino escreveu:Dica

Note que a equação ${x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y=68$ é a mesma que $(x-3)^{2}+(y-2)^{2} = 81$ .

Oi Luiz, eu "simplifiquei" a expressão e realmente são iguais mas vc poderia dizer a relação com o problema que acredito ser importante prá minha aprendizagem. Visto que tenho que aprender muita coisa prá passar nesse concurso ou nos próximos que virá.

Grande Fernando... Tudo em paz ??

Campeão, veja, o Luiz simplificou a equação da circunferência para a sua forma reduzida da onde podemos retirar os valores da coordenada do centro e do raio, veja:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Logo, as coordenadas do centro serão:

C = (-a, -b)

O raio será a raiz quadrada de 81, isto é, 9...

Espero ter ajudado..

[ ]'s
Renato.

por **LuizAquino** » Dom Mar 06, 2011 17:10

Renato_RJ escreveu:

Logo, as coordenadas do centro serão:

C = (-a, -b)

Correção: as coordenadas do centro são C = (a, b).

Por exemplo, na equação $(x-3)^{2}+(y-2)^{2} = 81$ o centro é C=(3, 2). Note que a = 3 e b = 2 nesse caso.

Para usar a definição do jeito que você disse, então deveria ser:
Na equação geral (x + a)^2 + (y + b)^2 = r^2

, o centro é C=(-a, -b). No exemplo da equação acima, que pode ser escrita como $[x+(-3)]^{2}+[y+(-2)]^{2} = 81$ , teríamos a = -3 e b = -2. Novamente o centro será C=(-(-3), -(-2)) = (3, 2).