Dúvida em polinômio com quadrado perfeito

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Dúvida em polinômio com quadrado perfeito

Mensagempor Nerd » Seg Set 03, 2012 22:07

Oi galera, não to conseguindo começar esse exercício.Sei como é um quadrado perfeito mas não sei como aplicar essa informação no exercício.

O polinômio, de coeficientes racionais {x}^{4} + a{x}^{3} + b{x}^{2} + 8x + 4 é um quadrado perfeito.Pode-se, então, afirmar que:
a) a = 6
b) a = 4b
c) b = 4a
d) b - a = 2
e) b - a = 4

Valeu!
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Re: Dúvida em polinômio com quadrado perfeito

Mensagempor Russman » Seg Set 03, 2012 23:05

Se um polinômio P(x) é um quadrado perfeito significa que P(x) pode ser escrito como

P(x) = [Q(x)]^2

onde , se o grau de Q(x) é n, o grau de P(x) é 2n.

Assim, como o grau do seu polinômio é 4 você deve supor um polinomio Q(x) de grau 2 de modo que

Q(x) = (cx^2 + dx + f)^2 = x^4 + ax^3 + bx^2 + 8x + 4

e, aplicando o Teorema da Igualdade de Polinômios, isolar uma relação de a com b.
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !

Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.

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