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por marioitalo » Qua Out 15, 2008 20:26
Olá a todos,
Estive lendo a resolução de um problema que consistia em provar que
, o que é equivalente a
Pois bem, acontece que o primeiro passo para quem elaborou o gabarito foi transformar
em
Não consigo entender de onde saiu essa expressão. Consegui enxergar apenas que
foi fatorado de
, que
foi fatorado de
e
de
Alguém pode me socorrer, porque estou há um tempão tentando enxergar de onde surgiu esse desdobramento, se foi baseado em algum teorema, se foi por
derivada,
integral, intuição... O pior é que deve ser algo bem banal e tá me deixando maluco.
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marioitalo
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por admin » Sex Out 17, 2008 05:33
Olá
marioitalo, boas-vindas!
Somente partindo desta expansão em particular eu ainda também não percebi qual foi a expressão considerada inicialmente e o objetivo na demonstração. Talvez a idéia fique mais clara enviando a resolução completa para apreciarmos.
Vale dizer que não há apenas uma prova ou demonstração para esta soma de cubos, há várias.
Não sei se sua dúvida é apenas esta ou se a idéia de outra demonstração ajudaria.
Por exemplo, uma possibilidade é considerar a seguinte expansão:
E antes de variarmos
de
a
, escrevemos assim:
Fazendo
variar, temos:
Repare que somando todos os membros, do lado esquerdo teremos vários cancelamentos, e do lado direito colocamos em evidência a soma dos cubos, dos quadrados e dos naturais:
Chamando de
Agora consideramos a soma dos quadrados obtida de forma análoga:
E também esta mais comum:
Expandindo a quarta potência, fazendo as outras distributivas e isolando
, obtemos:
Até mais!
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por marioitalo » Sex Out 17, 2008 15:41
Muito obrigado pela resposta e pelas boas vindas, Fabio.
Segue abaixo o desenvolvimento completo da questão.
Obs.: Eu consegui chegar à expressão
fazendo a expansão de
, como se fosse
considerando
e
e rearrumando os termos, mas ainda assim não sei como se chegou àquela outra expressão.
Abraço.
Editado pela última vez por
marioitalo em Sex Out 17, 2008 23:41, em um total de 1 vez.
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marioitalo
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por admin » Sex Out 17, 2008 18:03
Olá
marioitalo!
Agora a idéia criativa da demonstração ficou mais clara.
Antes, um detalhe de edição que percebi: na segunda parte, 2ª e 3ª linhas, faltou o símbolo fatorial em
.
Sobre a sua dúvida para a escolha de
daquela forma, podemos dizer que sim, foi uma "intuição" tática.
A origem desta idéia surge ao observar onde queremos chegar, ou seja:
Em destaque, este produto:
.
Quem criou a demonstração queria "fazer surgir" fatoriais para após as simplificações ficar com o produto
.
Note que
pode ser representado de outras formas conforme conveniência na prova.
Como aquela foi a escolha, estas são as condições para que a expressão se mantenha verdadeira:
De modo que os termos de grau 2 e 1 sejam anulados, ficando o de grau 3 com coeficiente 1:
Há outras demonstrações também bem interessantes e criativas. Li sobre uma geométrica que consta no livro do Simmons, cálculo com geometria analítica. Meu livro deve chegar na próxima semana, caso não tenha e queira ver posso postar depois por aqui.
Bons estudos!
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por marioitalo » Dom Out 19, 2008 03:05
Olá Fabio,
Desculpe a demora em responder, mas é que comecei a seguir uma série de sites sobre o assunto que me levaram até aqui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_symbol, uma página da Wikipedia falando sobre o símbolo de Pochhammer, que representa o "rising sequential product" ou fatorial ascendente (não sei se a tradução é exatamente essa), que guarda grande similaridade com a tal expressão inicial que postei. Pesquisando mais um puco, cheguei a esse PDF:
http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo1serieamostra.pdf, um manual de seqüências e séries. Lá pela página 14 ele resolve o mesmo problema usando o tal produto fatorial, com a diferença que lá ele usa o descendente e naquela demonstração que postei acredito que tenha sido usado o ascendente.
É mais ou menos assim: Seja
um polinômio fatorial da forma
Considerando que:
Podemos exprimir um polinômio
em função dos polinômios fatoriais
sendo
e
os restos das divisões abaixo:
Achando esses restos
, já caimos direto na expressão que foi utilizada dentro do somatório na resolução postada anteriormente, qual seja:
Se não quisermos obter esses restos, basta atribuir
como foi feito naquele primeiro caso e, ao final, zerarmos os coeficientes de
e
E aqui finalmente a bendita expressão aparece!
Bem, é isso. Se eu escrevi alguma besteira, por favor me corrijam...
Obrigado pela ajuda, Fabio.
Abraço.
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marioitalo
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por admin » Ter Out 28, 2008 15:40
Olá
marioitalo!
Também peço desculpas pela demora em responder, mas atualmente não estou tão presente por aqui.
Eu também não conhecia aquela forma simplificada de representar os produtos.
É mais uma evidência da necessidade em cálculos deste tipo, visando facilitar a notação.
Aproveito para dar parabéns ao seu interesse em pesquisar!
Eu havia comentado sobre uma demonstração geométrica que consta no livro do Simmons, veja que interessante.
Antes, o autor destaca que a prova partindo desta expressão
é apenas uma extensão da idéia "do grande teólogo-matemático-cientista-escritor francês Blaise Pascal" que provou a fórmula para a soma dos
primeiros quadrados a partir desta expansão:
Eis a demonstração geométrica:
Começando no ponto
, assentamos segmentos sucessivos de comprimentos
etc. e finalmente um de comprimento
atingindo o ponto
.
Fazemos o mesmo sobre a reta
perpendicular a
, de modo que
A área do quadrado é, portanto,
Entretanto, o quadrado é a soma de
regiões em forma de
, indicadas na figura:
Qual é a área de
? Essa região pode ser dividida em dois retângulos, como na figura. Assim
Conseqüentemente,
e comparando
e
temos
Bons estudos e até mais!
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Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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