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por marioitalo » Qua Out 15, 2008 20:26
Olá a todos,
Estive lendo a resolução de um problema que consistia em provar que
, o que é equivalente a
Pois bem, acontece que o primeiro passo para quem elaborou o gabarito foi transformar
em
Não consigo entender de onde saiu essa expressão. Consegui enxergar apenas que
foi fatorado de
, que
foi fatorado de
e
de
Alguém pode me socorrer, porque estou há um tempão tentando enxergar de onde surgiu esse desdobramento, se foi baseado em algum teorema, se foi por derivada,
integral, intuição... O pior é que deve ser algo bem banal e tá me deixando maluco.
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marioitalo
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por admin » Sex Out 17, 2008 05:33
Olá
marioitalo, boas-vindas!
Somente partindo desta expansão em particular eu ainda também não percebi qual foi a expressão considerada inicialmente e o objetivo na demonstração. Talvez a idéia fique mais clara enviando a resolução completa para apreciarmos.
Vale dizer que não há apenas uma prova ou demonstração para esta soma de cubos, há várias.
Não sei se sua dúvida é apenas esta ou se a idéia de outra demonstração ajudaria.
Por exemplo, uma possibilidade é considerar a seguinte expansão:
E antes de variarmos
de
a
, escrevemos assim:
Fazendo
variar, temos:
Repare que somando todos os membros, do lado esquerdo teremos vários cancelamentos, e do lado direito colocamos em evidência a soma dos cubos, dos quadrados e dos naturais:
Chamando de
Agora consideramos a soma dos quadrados obtida de forma análoga:
E também esta mais comum:
Expandindo a quarta potência, fazendo as outras distributivas e isolando
, obtemos:
Até mais!
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admin
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por marioitalo » Sex Out 17, 2008 15:41
Muito obrigado pela resposta e pelas boas vindas, Fabio.
Segue abaixo o desenvolvimento completo da questão.
Obs.: Eu consegui chegar à expressão
fazendo a expansão de
, como se fosse
considerando
e
e rearrumando os termos, mas ainda assim não sei como se chegou àquela outra expressão.
Abraço.
Editado pela última vez por
marioitalo em Sex Out 17, 2008 23:41, em um total de 1 vez.
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marioitalo
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por admin » Sex Out 17, 2008 18:03
Olá
marioitalo!
Agora a idéia criativa da demonstração ficou mais clara.
Antes, um detalhe de edição que percebi: na segunda parte, 2ª e 3ª linhas, faltou o símbolo fatorial em
.
Sobre a sua dúvida para a escolha de
daquela forma, podemos dizer que sim, foi uma "intuição" tática.
A origem desta idéia surge ao observar onde queremos chegar, ou seja:
Em destaque, este produto:
.
Quem criou a demonstração queria "fazer surgir" fatoriais para após as simplificações ficar com o produto
.
Note que
pode ser representado de outras formas conforme conveniência na prova.
Como aquela foi a escolha, estas são as condições para que a expressão se mantenha verdadeira:
De modo que os termos de grau 2 e 1 sejam anulados, ficando o de grau 3 com coeficiente 1:
Há outras demonstrações também bem interessantes e criativas. Li sobre uma geométrica que consta no livro do Simmons, cálculo com geometria analítica. Meu livro deve chegar na próxima semana, caso não tenha e queira ver posso postar depois por aqui.
Bons estudos!
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por marioitalo » Dom Out 19, 2008 03:05
Olá Fabio,
Desculpe a demora em responder, mas é que comecei a seguir uma série de sites sobre o assunto que me levaram até aqui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_symbol, uma página da Wikipedia falando sobre o símbolo de Pochhammer, que representa o "rising sequential product" ou fatorial ascendente (não sei se a tradução é exatamente essa), que guarda grande similaridade com a tal expressão inicial que postei. Pesquisando mais um puco, cheguei a esse PDF:
http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo1serieamostra.pdf, um manual de seqüências e séries. Lá pela página 14 ele resolve o mesmo problema usando o tal produto fatorial, com a diferença que lá ele usa o descendente e naquela demonstração que postei acredito que tenha sido usado o ascendente.
É mais ou menos assim: Seja
um polinômio fatorial da forma
Considerando que:
Podemos exprimir um polinômio
em função dos polinômios fatoriais
sendo
e
os restos das divisões abaixo:
Achando esses restos
, já caimos direto na expressão que foi utilizada dentro do somatório na resolução postada anteriormente, qual seja:
Se não quisermos obter esses restos, basta atribuir
como foi feito naquele primeiro caso e, ao final, zerarmos os coeficientes de
e
E aqui finalmente a bendita expressão aparece!
Bem, é isso. Se eu escrevi alguma besteira, por favor me corrijam...
Obrigado pela ajuda, Fabio.
Abraço.
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marioitalo
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por admin » Ter Out 28, 2008 15:40
Olá
marioitalo!
Também peço desculpas pela demora em responder, mas atualmente não estou tão presente por aqui.
Eu também não conhecia aquela forma simplificada de representar os produtos.
É mais uma evidência da necessidade em cálculos deste tipo, visando facilitar a notação.
Aproveito para dar parabéns ao seu interesse em pesquisar!
Eu havia comentado sobre uma demonstração geométrica que consta no livro do Simmons, veja que interessante.
Antes, o autor destaca que a prova partindo desta expressão
é apenas uma extensão da idéia "do grande teólogo-matemático-cientista-escritor francês Blaise Pascal" que provou a fórmula para a soma dos
primeiros quadrados a partir desta expansão:
Eis a demonstração geométrica:
Começando no ponto
, assentamos segmentos sucessivos de comprimentos
etc. e finalmente um de comprimento
atingindo o ponto
.
Fazemos o mesmo sobre a reta
perpendicular a
, de modo que
A área do quadrado é, portanto,
Entretanto, o quadrado é a soma de
regiões em forma de
, indicadas na figura:
Qual é a área de
? Essa região pode ser dividida em dois retângulos, como na figura. Assim
Conseqüentemente,
e comparando
e
temos
Bons estudos e até mais!
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Trigonometria
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Assunto:
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Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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