Questão prova magisterio 2008

por **fernandocez** » Seg Fev 14, 2011 16:42

Olá pessoal, eu sou novo aqui. Eu acho que aqui vai ser a minha única chance de aprender a resolver essa questão da prova do concurso prá magistério do Estado RJ.
A questão:

O número real x é tal que $x+2{x}^{-1}=5$ . Então, o valor de ${x}^{2}+4{x}^{-2}$ é:

No gabarito a resposta é: 21

Eu fiz arrumei ficou assim: $2{x}^{2}-10x+1=0$
Meu delta deu 92, ai não consegui continuar. Se alguem puder ajudar agradeço.

por **LuizAquino** » Seg Fev 14, 2011 19:14

fernandocez escreveu:O número real x é tal que $x+2{x}^{-1}=5$ . Então, o valor de ${x}^{2}+4{x}^{-2}$ é:

Essa questão depende de você ter uma boa percepção, para notar que elevando ao quadrado ambos os membros da primeira equação a expressão ${x}^{2}+4{x}^{-2}$ irá aparecer no primeiro membro.

$\left(x+2x^{-1}\right)^2 = 5^2$

$x^2 + 4 + 4x^{-2}= 25$

$x^2 + 4x^{-2} = 21$

Obviamente, outro caminho (mais longo) para resolver esse exercício seria desenvolver $x+2{x}^{-1}=5$ para obter a equação do 2° grau x^2-5x+2=0

. Em seguida, substituir as soluções dessa equação na expressão ${x}^{2}+4{x}^{-2}$ . A pessoa que escolher esse caminho verá que ele é bem mais longo do que a solução mais "elegante" apresentada acima. Além disso, é sempre bom lembrar que tempo é um fator crucial em concursos ou vestibulares.

por **fernandocez** » Seg Fev 14, 2011 23:16

Obrigadão Luiz, eu já vi que tenho que aprender muito prá passar no concurso e aqui é o lugar certo prá isso.

por **fernandocez** » Ter Fev 15, 2011 19:22

LuizAquino escreveu:

Aproveitando a sua ajuda, tem uma parecida com a resolvida que tentei, tentei de todas as formas mas não consegui chegar na resposta. Vai a questão:

26) Se ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{2}=3$ , o valor de ${x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}=3$

A resposta: 0

Eu fiz assim, ${\left(x+\frac{1}{x} \right)}^{3}={\left(\sqrt[]{3} \right)}^{3}$ , elevei ao cubo ambos os membros e comecei a desenvolver.
Só que não consegui desenvolver. Fiquei enrolado nas operações com frações, fiz assim:
$\left(x+\frac{1}{x} \right){\left(x+\frac{1}{x} \right)}^{2}$ = ... ${x}^{3}+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{3}}$
Daí eu não consegui proceguir mais. Acredito que tá errado o desenvolvimento. Obrigado pela ajuda.

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 20:10

fernandocez escreveu:26) Se ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{2}=3$ , o valor de ${x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}$

A resposta: 0

Lembre-se que: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

.

Além disso, lembre-se que: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ .

Pois muito bem, como você havia feito, temos:

${\left(x+\frac{1}{x} \right)}^{3}={\left(\sqrt{3} \right)}^{3}$

Que desenvolvendo obtemos:
$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3}$

$x^3 + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3}$

$x^3 + 3\sqrt{3} + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$