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Mensagempor adauto martins » Sáb Set 04, 2021 15:50

(EsTE-1952)achar o conjunto de valores de k para que a equaçao:

x^4-12x^2+24x-k=0

tenha quatro raizes desiquais.
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Re: exercicio resolvido

Mensagempor adauto martins » Sáb Set 04, 2021 15:59

soluçao
ainda sem o LATEX,mas vamo la!...
a equaçao é um polinomio de 4?grau,logo tera 4 raizes...o problema nos pede 4 raizes desiquais,entao
teremos que ter p'(x)(derivada)diferente de zero...logo

p'(x)=4x^3-28x+24...acharemos os valores para p'(x)=0 e tomaremos k diferente desses valores(raizes de p'(x))

4x^3-28x+24=0...temos que p(-3)=p(1)=p(2)=0...todos divisores de 24,resolvivel por fatoraçao(faça-o como exercicio)...

o conj. soluçao sera k diferente de -3,1,2...

ps-por favor administraçao do site resolva o problema do LATEX...obrigado
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Re: exercicio resolvido

Mensagempor adauto martins » Sáb Set 04, 2021 17:54

uma correção

k sera diferente de p(-3),p(1),p(2)...pois se r é raiz de p'(x),sera raiz de p(x)...
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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