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exercicio resolvido

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Mensagempor adauto martins » Sáb Ago 07, 2021 15:34

(ITA-1966)a equaçao x^7+4x^5+x^3+x+13=0 possue

a)uma raiz nula e demais positivas
b)pelo menos uma raiz negativa
c)so raizes complexas
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Re: exercicio resolvido

Mensagempor adauto martins » Sáb Ago 07, 2021 15:56

soluçao

vamos fazer aqui um estudo sobre as raizes desse polinomio

o polinomio possue raizes complexo-conjugadas,pois

pelo "criterio de huat-lacuna" (estude bem isso),teremos

{a}_{6}=0...e...{a}_{5}.{a}_{7}=4.1\succ 0={a}_{6}

somente o apresentado acima ja garantiria raizes complexo-conjugadas,como tambem

{a}_{4}=0...e...{a}_{5}.{a}_{3}=4.1\succ 0={a}_{4}

{a}_{2}=0...e...{a}_{3}.{a}_{1}=1.13\succ 0={a}_{2}

como o grau do polinomio é impar (\partial 7 ),entao ele podera ter no maximo 3 pares de raizes complexo-conjugadas,logo nao todas como afirma a letra c).
usando o "criterio de descartes" sobre as trocas de sinais dos coeficites,que pode ou nao afirmar sobre ter raizes,teriamos

p(x)\rightarrow (+,+,+,+,+)

p(-x)\rightarrow (-,-,-,-,+)

a primeira nao houve variaçao de sinais,logo podemos nao ter raizes positivas.
a segunda ha uma troca de sinais,que nos possibilita a ter uma raiz negativa.veja estamos lidando com possibilidades,e nao certezas...entao pelo contexto do problema,a letra b)é a mais viavel,como tambem a letra a) afirma existir raiz nula,o que nao se verifica pois p(0)=13\neq 0...

ps-quando lidamos com os calculos de raizes de polinomio estamos lidando com possibilidades...
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Re: exercicio resolvido

Mensagempor adauto martins » Sáb Ago 07, 2021 17:57

ps-qdo digo sobre possibilidades,falo em criterios como "criterio de descartes","teorema de bolzano-weirstrass" e similares.
para calcular existem varios metodos como briot-rufini,calculo de raizes racionais(que é vago,mas resolve),metodos numericos como NEWTON-VIETE,NEWTON-RAPHSON e similares...obrigado
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.