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exercicio resolvido

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Mensagempor adauto martins » Qui Jul 29, 2021 17:09

(ITA-1960)verifique se sao verdadeiras ou falsas as seguintes afirmaçoes.
demonstrar que se a equaçao x^3+ax+b=0 , a\neq0 ,b\neq0, a e b reais,tiver duas raizes iguais a sera sempre positivo.
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Re: exercicio resolvido

Mensagempor adauto martins » Qui Jul 29, 2021 17:38

soluçao

para que um polinomio tenha 2 raizes iguais(multiplicidade 2),devemos ter que:

p'(x)=0 e p''(x)\neq 0,onde p'(x),p''(x) sao respectivamente as derivadas primeira e segunda de p(x).

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p'(x)=3x^2+a=0...p''(x)=6x,x\neq 0

tomemos

p'(x)=0\Rightarrow 3x^2+a=0\Rightarrow

x=(+/-)(\sqrt[]{3a}/3)i

vamos tomar
x=(\sqrt[]{3a}/3)i
e depois analogamente p/ x=-(\sqrt[]{3a}/3)i

entao

p(\sqrt[]({3}a/3)i)=({(\sqrt[]{3}a/3)i})^{3}+a(\sqrt[]{3}a/3)i+b=0

\sqrt[](({3a}/3){i})^{2}.(\sqrt[]{3a}/3)i+a(\sqrt[]{3a}/3)i+b=0...

...=4a^3+27b^2\Rightarrow 4a^3=-27b^2\prec 0\Rightarrow a^3=a^2.a\prec 0

\Rightarrow a\prec 0

fazendo o analogo para
p(-\sqrt[]{3a}/3)=0\Rightarrow 4a^3+27p^2=0
que conclui-se que a\prec 0
(fica como exercicio)
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.