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exerc.resolvido

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Mensagempor adauto martins » Qua Nov 06, 2019 15:38

(ENE-escola nacional de engenharia-exame 1950)
calcular as raizes racionais da equaçao

3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12=0
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Re: exerc.resolvido

Mensagempor adauto martins » Qua Nov 06, 2019 16:12

soluçao:
o problema pede as raizes racionais,ou seja as raizes da forma (p/q),onde p,q sao primos entre si.
em um polinomio a forma de encontrar as possiveis raizes racionas é dado por:
os divisores p,de {a}_{0}=12, e os divisores q, de {a}_{n}=3.aqui inclui os positivos e negativos
logo
div(12)=[-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12]
div(3)=[-3,-1,1,3]
as possiveis raizes racionais,(p/q)sao:
[-12,-6,-4,-3,-2,-1,-4/3,-2/3,-1/3,1/3,2/3,4/3,1,2,3,4,6,12]

sao 18 possibilidades de se achar uma,ou mais raizes racionais de p(x),que se faz via substituindo as possibilidades no polinomio,uma a uma(que tarefa,heim!...) e verificando a condiçao de p(x)=0.
aqui,p(1)=0,pois

3{(1)}^{4}-4{(1)}^{3}-19{(1)}^{2}+8(1)+12=3-4-19+8+12=-23+23=0

bom,achando uma raiz,podemos entao diminuir o grau do polinomio

(3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12)/(x-1)=

=(-{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12)

temos agora um polinomio de terceiro grau,a saber

-{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12

logo,faremos novamente o processo de possibilidades das raizes racionais para

r(x)=-{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12=0

possiveis raizes [-1,-2,-3,-4,-6,-12,1,2,3,4,6,12]

e procurarmos entre esses,uma ou mais valores que satisfaz a condiçao de r(x)=0...
como o polinomio inicial é de quatro grau,podemos ter 4 raizes,3 raizes(uma com multiplicidade 2),2 raizes(uma com multiplicidade 3,ou duas com multiplicidade 2),1 raiz(com multiplicidade 4)...bom,aos interessados termine-o...
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Re: exerc.resolvido

Mensagempor adauto martins » Qua Nov 06, 2019 16:37

uma correçao:

(3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12)/(x-1)=3{x}^{3}-{x}^{2}-x+4

logo

r(x)=3{x}^{3}-{x}^{2}-x+4

obrigado....
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.