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exerc.resolvido

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Mensagempor adauto martins » Ter Nov 05, 2019 21:00

seja p(x)={x}^{100}-{x}^{5}-2{x}^{5}+x+1

de as possibilidades de p(x) ter raizes positivas,raizes negativas e raizes complexas.
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Re: exerc.resolvido

Mensagempor adauto martins » Ter Nov 05, 2019 21:15

soluçao:

vamos usar a "regra de descartes" e os "criterios de lacuna-hiaut".

p(x)={x}^{100}-{x}^{5}-2{x}^{2}+x+1

tem como variaçoes de sinais dos coeficientes(+,-,-,+,+),2 trocas...
a possibilidade de termos 2 raizes positivas ou nenhuma raiz positivas,considerando a perguntas 2 raizes reais positivas.
façamos

p(-x)={(-x)}^{100}-{(-x)}^{5}-2{(-x)}^{2}+(-x)+1

p(-x)={x}^{100}+{x}^{5}-2{x}^{2}-x +1

\rightarrow(+,+,-,-,+)

2 raizes reais negativas...

temos que:
{a}_{99}={a}_{98}={a}_{97}=...={a}_{4}={a}_{3}=0...

logo existem raizes complexas,entao podemos ter a seguinte configuraçao

2 raizes reais positivas,2 raizes reais negativas e 96 pares de raizes complexos-conjugados.

ps-errei na pergunta o grau do coeficiente {a}_{2},
mas corrigi na resoluçao do exercicio...
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.