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Determinar as raízes de um polinômio

Determinar as raízes de um polinômio

Mensagempor nanasouza123 » Sex Set 22, 2017 21:09

O produto de duas raízes da equação {2x}^{3}-{19x}^{2}+37x-14=0 é 1. Determinar as raízes desse polinômio.
nanasouza123
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Re: Determinar as raízes de um polinômio

Mensagempor DanielFerreira » Sex Nov 20, 2020 19:07

Sejam \mathsf{x_1}, \mathsf{x_2} e \mathsf{x_3} as raízes da equação em questão. De acordo com o enunciado, o produto de duas delas vale UM. Em símbolos,

\mathsf{x_1 \cdot x_2 = 1}

Por Girard, temos que o produto das (três) raízes vale...

\\ \mathsf{P = - \frac{- 14}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{P = 7}}

Portanto,

\\ \mathsf{P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3} \\\\ \mathsf{7 = 1 \cdot x_3} \\\\ \boxed{\mathsf{x_3 = 7}}

Isto é, SETE é uma raiz da equação. Dito isto, pelo método da chave, podemos determinar a equação (de grau dois) que permitirá encontrar as demais raízes. Segue,

+ 2x³ - 19x² + 37x - 14 | x - 7
____________________| 2x² - 5x + 2
+ 2x³ - 19x²
- 2x³ + 14x²
____________________|
- 5x² + 37x - 14
+ 5x² - 35x
____________________|
+ 2x - 14
- 2x + 14
____________________|
0

Daí,

\mathsf{2x^3 - 19x^2 + 37x - 14 = (x - 7) \cdot (2x^2 - 5x + 2) = 0}

Com efeito,

\\ \mathsf{2x^2 - 5x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{2x^2 - 4x - x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0} \\\\ \mathsf{(x - 2) \cdot (2x - 1) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 1/2}} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 2}}

Por fim, podemos concluir que

\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ \frac{1}{2}, 2, 7 \right \}}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.