Outro modo é fazendo:
![\sqrt{(2-3x)^2}<\sqrt{(x-3)^2} \Rightarrow (2-3x)^2<(x-3)^2 \Rightarrow \\ \Rightarrow 4-12x+9x^2<x^2-6x+9 \Rightarrow 9x^2-12x<x^2-6x+5\Rightarrow 8x^2-6x-5 <0 \sqrt{(2-3x)^2}<\sqrt{(x-3)^2} \Rightarrow (2-3x)^2<(x-3)^2 \Rightarrow \\ \Rightarrow 4-12x+9x^2<x^2-6x+9 \Rightarrow 9x^2-12x<x^2-6x+5\Rightarrow 8x^2-6x-5 <0](/latexrender/pictures/c78c2644ae1717476387e39ef0c3f6d9.png)
A equação
![8x^2-6x-5=0 8x^2-6x-5=0](/latexrender/pictures/14ad0b16aa47b05bb5e11139d3bef6d5.png)
possui raízes em
![x=\frac{20}{16}=\frac{5}{4} x=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}](/latexrender/pictures/87ab03019c954b7bd9b993ecf799212f.png)
e em
![x=\frac{-8}{16}=\frac{-1}{2} x=\frac{-8}{16}=\frac{-1}{2}](/latexrender/pictures/ba5b55944f823c317f9409175c7e2898.png)
(encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara).
Logo,
![8x^2-6x-5<0 \Rightarrow \left( x-\frac{5}{4}\right)\left( x+\frac{1}{2}\right)<0 8x^2-6x-5<0 \Rightarrow \left( x-\frac{5}{4}\right)\left( x+\frac{1}{2}\right)<0](/latexrender/pictures/559624f620eaf279895735bd1cc5bc67.png)
.
Mas isso implica que
![\left( x-\frac{5}{4}\right)<0 \left( x-\frac{5}{4}\right)<0](/latexrender/pictures/8233960adbf4a2719cde676b1ff88748.png)
(1) e
![\left( x+\frac{1}{2}\right)>0 \left( x+\frac{1}{2}\right)>0](/latexrender/pictures/1321b479aa728395600079960b2430a3.png)
(2)
ou
![\left( x-\frac{5}{4}\right)>0 \left( x-\frac{5}{4}\right)>0](/latexrender/pictures/a3fa936e969628d879583e39db22e634.png)
(3) e
![\left( x+\frac{1}{2}\right)<0 \left( x+\frac{1}{2}\right)<0](/latexrender/pictures/cdcfaeb47a5429e4e100b5827600ceec.png)
(4).
De (1),
![x<\frac{5}{4} x<\frac{5}{4}](/latexrender/pictures/2c454f70c6481373af580f6069831838.png)
De (2),
![x>\frac{-1}{2} x>\frac{-1}{2}](/latexrender/pictures/bbabf9d82800280c94dd9390bd10480c.png)
Então,
![\frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4} \frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4}](/latexrender/pictures/55af47d4c838d8cd9468e1b927013363.png)
De (3),
![x>\frac{5}{4} x>\frac{5}{4}](/latexrender/pictures/7e0052557a5b071fef75d133bd704689.png)
De (4),
![x<\frac{-1}{2} x<\frac{-1}{2}](/latexrender/pictures/90a6d53202a1a77efb1e57154213ed78.png)
Então, não haverá interesecção, ou seja, nos intervalos
![x>\frac{5}{4} x>\frac{5}{4}](/latexrender/pictures/7e0052557a5b071fef75d133bd704689.png)
e
![x<\frac{-1}{2} x<\frac{-1}{2}](/latexrender/pictures/90a6d53202a1a77efb1e57154213ed78.png)
, a inequação
![8x^2-6x-5<0 8x^2-6x-5<0](/latexrender/pictures/dec11485946ec8b6335c1baad8b7d0f7.png)
será falsa.
Portanto a solução estará no intervalo (conjunto)
![\frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4} \frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4}](/latexrender/pictures/55af47d4c838d8cd9468e1b927013363.png)
...
De toda forma enfatizo que o método utilizado na primeira vez (vez anterior) é mais garantido, porém mais trabalhoso...
Esta solução é mais rápida e poderá ser usada no problemas da letra c, como segue abaixo:
Observando, na letra c, que
![|x-2|< |x|+2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2}< \sqrt{(x)^2}+2 |x-2|< |x|+2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2}< \sqrt{(x)^2}+2](/latexrender/pictures/a4bcd705ad7c3cf068e63aa777aeedcd.png)
poderemos fazer o seguinte (atenção nos passos)
![\sqrt{(x-2)^2}< \sqrt{(x)^2}+2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2}< x+2 \Rightarrow (x-2)^2<(x+2)^2 \Rightarrow x^2-4x+4<x^2+4x+4 \Rightarrow -4x<4x \Rightarrow -8x<0 \Rightarrow 8x>0 \Rightarrow x>0 \sqrt{(x-2)^2}< \sqrt{(x)^2}+2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2}< x+2 \Rightarrow (x-2)^2<(x+2)^2 \Rightarrow x^2-4x+4<x^2+4x+4 \Rightarrow -4x<4x \Rightarrow -8x<0 \Rightarrow 8x>0 \Rightarrow x>0](/latexrender/pictures/2f26070365f1c7a40a963b0ada2e6d37.png)
Portanto,
![|x-2|<|x|+2 |x-2|<|x|+2](/latexrender/pictures/00a147272ea0ed29c6f216a01a8394f4.png)
se
![x>0 x>0](/latexrender/pictures/887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png)
.
Já para b, tentei o processo e acontece o seguinte:
![|x-2|\leq |x|- 2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2} \leq \sqrt{(x)^2}-2 |x-2|\leq |x|- 2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2} \leq \sqrt{(x)^2}-2](/latexrender/pictures/9f36b7f8caacad6122f753621f3e00c3.png)
fazendo, como antes,
![(x-2)^2 \leq (\sqrt{(x)^2}-2)^2 \Rightarrow (x-2)^2 \leq (x-2)^2 \Rightarrow x-2 \leq x-2 (x-2)^2 \leq (\sqrt{(x)^2}-2)^2 \Rightarrow (x-2)^2 \leq (x-2)^2 \Rightarrow x-2 \leq x-2](/latexrender/pictures/8092bcf5c5f3b58385d8706a7031d41f.png)
o que é verdadeiro para qualquer
![x x](/latexrender/pictures/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
real.
Mas como estamos trabalhando com módulo teremos que
![x-2 \geq 0 x-2 \geq 0](/latexrender/pictures/e453132f3cbb4345dcdac2cd0002140e.png)
sempre, ou seja,
![x \geq 2 x \geq 2](/latexrender/pictures/7c12240ca04d0a3c09dc4d2ac8686f95.png)
.
Em caso de dúvida, basta observar que
![\sqrt{(x-2)^2} \sqrt{(x-2)^2}](/latexrender/pictures/8dd9c5b933d48d8dfdd645dad3ef60bd.png)
não pode ser negativo. Assim sendo
![\sqrt{(x)^2}-2 \geq 0 \Rightarrow x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \sqrt{(x)^2}-2 \geq 0 \Rightarrow x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2](/latexrender/pictures/5c78514ffd5893b0903e3ea8bac7845f.png)
Se praticar bastante o outro método, ele lhe cairá melhor do que o método de elevar ao quadrado. Este último pode te levar a entendimentos errôneos..
Espero ter ajudado...
Só os loucos sabem...