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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 06:57
Senhores, bom dia. Nessa semana que se passou eu iniciei meus estudos de números complexos e, mediante o exercício em que lhes peço ajuda a seguir eu travei. Sequer consegui desenvolver um esboço de resolução. Se alguém aqui puder gentilmente me 'dar uma luz':
Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, exercício 16, pag 11:
Quais os números complexos x e y para os quais : x + yi = i e xi + y = 2i - 1 .
Seguindo o raciocínio que eu aprendi a ter até agora pelas coisas ditas pelo livro eu consideraria isso daí duas funções separadas e diria que para a primeira, considerando que real é igual a real e imaginário é igual a imaginário, diria que:
x = 0 e y = 1 ; na segunda eu diria que : x = 2 e y = -1 entretanto o gabarito é único e me apresenta a seguinte resposta:
x = 1 + i ; y = i
Logo em seguida vem o exercício 18, na pag 12:
Qual a condição para que o número
, a e b reais, seja estritamente negativo?
Nesse aí eu parti do seguinte princípio:
, então eu cheguei a algo como
; então:
, sendo essa última menor que zero, pois a condição do enunciado é que sejam menores que zero, então:
; disso eu consigo dizer somente que ab tem que ser diferentes de zero;
já na resposta do livro o gabarito também chega a conclusão de que a = +-b ; essa última parte eu não sei como ele alcançou ou se minhas ponderações até aqui também foram corretas.
Obrigado a quem ler e se interessar a responder. Att, Rafael.
Editado pela última vez por
Vennom em Sáb Jul 21, 2012 07:23, em um total de 1 vez.
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Vennom
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por Russman » Sáb Jul 21, 2012 07:21
Vennom:
A relação
é um sistema linear de 2 incógnitas,
e
, de 2 equações. Portanto o par
da 1° equação é identico ao par
da segunda equação.
A sua estimativa não estaria errada se considerássemos equações independentes. Mas não são.
A solução deste sistema segue como a de um sistema linear a variáveis reais.
Eu costumo resolver da seguinte forma: isole uma das incógnitas em uma equação e aplique na outra. Calculada essa incógnita, calcule a outra usando o valor desta.
Então, isolando
na 1° equação vem
.
Aplicando na 2° equação, temos
,
e, portanto,
.
Agora, com este resultado, calculamos
.
.
Assim, a solução do sistema linear é
.
Alguma dúvida?
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 07:26
Até agora com relação a primeira pergunta, sua explicação foi maravilhosamente perfeita. Tem como me ajudar sobre minha edição aí na pergunta com relação a segunda dúvida?
Ps.: obrigado Russman.
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Vennom
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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 07:29
Para complementar, nessa parte aqui na parte do y = -1/i , você multiplica por i/i por que? Eu não posso ter a unidade imaginária no denominador e por isso tenho que aplicar a regra da racionalização?
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Vennom
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por Russman » Sáb Jul 21, 2012 08:09
É convencional que expressemos sempre um número complexo na forma
. Portanto, a solução
é correta porém, de certa forma, inadequada. Para resolver este problema basta que você multiplique o denominador e numerador pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador.
Note que
.
O conjugado do complexo
é
. Portanto, segue o processo. Apenas uma observação: esta regra não é a da racionalização, visto que nesta o interesse é em escrever o denominador como um número racional( daí, racionalizar). Nosso objetivo é tornar o denominador real.
De forma geral, se você se deparar com o problema de expressar na forma convencional, isto é,
, o complexo, por exemplo,
basta que o multiplique pelo conjugado do denominador, isto é, por
, visto que o produto de um numero complexo por seu conjugado é sempre um número real puro!
Segue que
onde
.
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por Russman » Sáb Jul 21, 2012 08:41
Russman escreveu:Qual a condição para que o número , a e b reais, seja estritamente negativo?
Antes de ajudá-lo nesta questão eu gostaria de corrigí-lo.
Na parte que você escreveu
tome cuidado, pois isto não é verdade! Reveja produtos notáveis.
Voltando a questão: um número complexo não pode ser classificado quanto a positivo ou negativo. Oque podemos fazer é classificar suas pates real e imaginária pois são reais.
Assim, a primeira coisa a fazer é determinar a relação de
com
para que o complexo apresentado seja um real puro! Para tanto é necessário que sua parte imaginária seja nula. Vamos expandir o complexo para isolar sua parte real e imaginária:
.
Veja, que a parte imaginária de
é
que deve ser nula. Portanto,
.
Desta, tiramos três soluções possíveis:
Mas ainda queremos que o número seja negativo, isto é, a parte real do número seja negativa ( uma vez qe ele será real puro pois tomamos a parte imaginária nula). Assim, teremos de testar as 3 soluções obtidas anteriormente na parte real e verificar se ela será negativa!
Se tomarmos a 1° solução
, então
,
o que é um absurdo, visto que qualquer real elevado a uma potência par é sempre positivo. Assim, esta não é válida. Descartamos a solução
.
Para
acontecerá o mesmo!
Para
, temos
.
Isto é verdade para todo b real, pois o produto de um negativo com um positivo é sempre negativo.
O mesmo acontecerá para o caso
.
Assim, segue o resultado do gabarito.
(:
"Ad astra per aspera."
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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 09:18
Entendido! Obrigado, Russman!
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por Vennom » Seg Set 10, 2012 14:50
Complementando um tópico antigo meu, mais duas perguntas sobre o mesmo assunto...
Livro: Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, pg. 44, exercício 84, alternativas C e D.
Os respectivos gabaritos são :
1°) 1+2i ou
ou
2°) -3+i ou 3-i ou 1+3i ou -1-3i
Eu tentei aplicar a segunda fórmula de Moivre, mas me perco nesses dois últimos, só consegui com raízes quadradas.
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por Russman » Seg Set 10, 2012 15:56
A fórmula de Moivre calcula potências e as
raízes
-ésimas de um número, em geral, complexo! Mas veja que a mesma calcula raízes de números puramente reais também( claro, todo Real é complexo).
Seja
um complexo de argumento
. Assim,
onde
.
No primeiro caso, temos
onde
.
Agora faça
e calcule as 3 raízes.
"Ad astra per aspera."
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Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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