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[Número Complexo] Exercício básico...

[Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Vennom » Sáb Jul 21, 2012 06:57

Senhores, bom dia. Nessa semana que se passou eu iniciei meus estudos de números complexos e, mediante o exercício em que lhes peço ajuda a seguir eu travei. Sequer consegui desenvolver um esboço de resolução. Se alguém aqui puder gentilmente me 'dar uma luz':

Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, exercício 16, pag 11:

Quais os números complexos x e y para os quais : x + yi = i e xi + y = 2i - 1 .
Seguindo o raciocínio que eu aprendi a ter até agora pelas coisas ditas pelo livro eu consideraria isso daí duas funções separadas e diria que para a primeira, considerando que real é igual a real e imaginário é igual a imaginário, diria que:

x = 0 e y = 1 ; na segunda eu diria que : x = 2 e y = -1 entretanto o gabarito é único e me apresenta a seguinte resposta:

x = 1 + i ; y = i

Logo em seguida vem o exercício 18, na pag 12:

Qual a condição para que o número{(a+bi)}^{4} , a e b reais, seja estritamente negativo?

Nesse aí eu parti do seguinte princípio: {(1+i)}^{2}=2i , então eu cheguei a algo como {(a+bi)}^{4} = {[(a+bi)}^{2}]^{2} = {({a}^{2}-{b}^{2}+2abi)}^{2} ; então: {({a}^{2}-{b}^{2}+2abi)}^{2} = {({a}^{2}-{b}^{2})^{2} + (2abi)}^{2} = {a}^{4}+{b}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-4{a}^{2}{b}^{2} , sendo essa última menor que zero, pois a condição do enunciado é que sejam menores que zero, então: {a}^{4}+{b}^{4}-6{a}^{2}{b}^{2} < 0 ; disso eu consigo dizer somente que ab tem que ser diferentes de zero;
já na resposta do livro o gabarito também chega a conclusão de que a = +-b ; essa última parte eu não sei como ele alcançou ou se minhas ponderações até aqui também foram corretas.
Obrigado a quem ler e se interessar a responder. Att, Rafael.
Editado pela última vez por Vennom em Sáb Jul 21, 2012 07:23, em um total de 1 vez.
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Russman » Sáb Jul 21, 2012 07:21

Vennom:

A relação

\left\{\begin{matrix}
x+yi=i\\ 
xi+y=2i-1
\end{matrix}\right.

é um sistema linear de 2 incógnitas, x e y , de 2 equações. Portanto o par (x,y) da 1° equação é identico ao par (x,y) da segunda equação.

A sua estimativa não estaria errada se considerássemos equações independentes. Mas não são.

A solução deste sistema segue como a de um sistema linear a variáveis reais.

Eu costumo resolver da seguinte forma: isole uma das incógnitas em uma equação e aplique na outra. Calculada essa incógnita, calcule a outra usando o valor desta.

Então, isolando y na 1° equação vem

x+yi=i\Rightarrow y=\frac{1}{i}\left (i-x  \right ).

Aplicando na 2° equação, temos

xi+y=2i-1\Rightarrow xi+\frac{1}{i}\left (i-x  \right )=2i-1,

e, portanto,

xi+\frac{1}{i}\left (i-x  \right )=2i-1\Rightarrow -x+i-x=-2-i\Rightarrow -2x=-2-2i\Rightarrow x=1+i.

Agora, com este resultado, calculamos y.

y=\frac{1}{i}\left (i-x  \right )\Rightarrow y=\frac{1}{i}\left (i-1-i  \right ) =\frac{-1}{i}\Rightarrow y=\frac{-1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{-i}{-1}=i.

Assim, a solução do sistema linear é

(x,y) = (1+i , i).

Alguma dúvida?
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Vennom » Sáb Jul 21, 2012 07:26

Até agora com relação a primeira pergunta, sua explicação foi maravilhosamente perfeita. Tem como me ajudar sobre minha edição aí na pergunta com relação a segunda dúvida?

Ps.: obrigado Russman.
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Vennom » Sáb Jul 21, 2012 07:29

Para complementar, nessa parte aqui na parte do y = -1/i , você multiplica por i/i por que? Eu não posso ter a unidade imaginária no denominador e por isso tenho que aplicar a regra da racionalização?
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Russman » Sáb Jul 21, 2012 08:09

É convencional que expressemos sempre um número complexo na forma a+bi. Portanto, a solução y=\frac{-1}{i} é correta porém, de certa forma, inadequada. Para resolver este problema basta que você multiplique o denominador e numerador pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador.

Note que

y=\frac{-1}{i}=\frac{1}{-i}.

O conjugado do complexo -i é i. Portanto, segue o processo. Apenas uma observação: esta regra não é a da racionalização, visto que nesta o interesse é em escrever o denominador como um número racional( daí, racionalizar). Nosso objetivo é tornar o denominador real.

De forma geral, se você se deparar com o problema de expressar na forma convencional, isto é, a+bi, o complexo, por exemplo,

z=\frac{c+di}{e+fi}

basta que o multiplique pelo conjugado do denominador, isto é, por e-fi, visto que o produto de um numero complexo por seu conjugado é sempre um número real puro!

Segue que

z=\frac{c+di}{e+fi}\cdot \frac{e-fi}{e-fi}=\frac{ce-cfi+dei+df}{e^{2}-efi+efi+f^{2}}=\frac{(ce+df)+i(de-cf)}{e^{2}+f^{2}}

\Rightarrow z=\frac{(ce+df)}{e^{2}+f^{2}}+i\frac{(de-cf)}{e^{2}+f^{2}}

onde

\left\{\begin{matrix}
a=\frac{(ce+df)}{e^{2}+f^{2}}\\ 
b=\frac{(de-cf)}{e^{2}+f^{2}}
\end{matrix}\right..
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Russman » Sáb Jul 21, 2012 08:41

Russman escreveu:Qual a condição para que o número , a e b reais, seja estritamente negativo?


Antes de ajudá-lo nesta questão eu gostaria de corrigí-lo.

Na parte que você escreveu

(a^{2} - b^{2} + 2abi)^{2} =(a^{2} - b^{2})^{2} + (2abi)^{2}

tome cuidado, pois isto não é verdade! Reveja produtos notáveis.

Voltando a questão: um número complexo não pode ser classificado quanto a positivo ou negativo. Oque podemos fazer é classificar suas pates real e imaginária pois são reais.
Assim, a primeira coisa a fazer é determinar a relação de a com b para que o complexo apresentado seja um real puro! Para tanto é necessário que sua parte imaginária seja nula. Vamos expandir o complexo para isolar sua parte real e imaginária:

(a+bi)^{4}=[(a+bi)^{2}]^{2} = (a^{2}-b^{2}+2abi)^{2} = (a^{2}-b^{2}+2abi)(a^{2}-b^{2}+2abi)

\Rightarrow (a+bi)^{4}=a^{4}-a^{2}b^{2}+2a^{3}bi-b^{2}a^{2}+b^{4}-2ab^{3}i+2a^{3}bi-2ab^{3}i -4a^{2}b^{2}

\Rightarrow(a+bi)^{4} = (a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2})+i(4a^{3}b-4ab^{3}).

Veja, que a parte imaginária de (a+bi)^{4} é (4a^{3}b-4ab^{3}) que deve ser nula. Portanto,

(4a^{3}b-4ab^{3})=0\Rightarrow 4ab(a^2-b^2)=0.

Desta, tiramos três soluções possíveis:

\left\{\begin{matrix}
a=0\\ 
b=0\\ 
a=\pm b
\end{matrix}\right.

Mas ainda queremos que o número seja negativo, isto é, a parte real do número seja negativa ( uma vez qe ele será real puro pois tomamos a parte imaginária nula). Assim, teremos de testar as 3 soluções obtidas anteriormente na parte real e verificar se ela será negativa!

a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2}< 0

Se tomarmos a 1° solução a=0, então

a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2}< 0\Rightarrow b^4<0,

o que é um absurdo, visto que qualquer real elevado a uma potência par é sempre positivo. Assim, esta não é válida. Descartamos a solução a=0.
Para b=0 acontecerá o mesmo!
Para a=b, temos

a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2}< 0\Rightarrow 2b^4-6b^4<0\Rightarrow -4b^4<0.

Isto é verdade para todo b real, pois o produto de um negativo com um positivo é sempre negativo.
O mesmo acontecerá para o caso a=-b.

Assim, segue o resultado do gabarito.

(:
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Vennom » Sáb Jul 21, 2012 09:18

Entendido! Obrigado, Russman!
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Vennom » Seg Set 10, 2012 14:50

Complementando um tópico antigo meu, mais duas perguntas sobre o mesmo assunto...
Livro: Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, pg. 44, exercício 84, alternativas C e D.
\sqrt[3]{-11-2i}
\sqrt[4]{28-96i}

Os respectivos gabaritos são :
1°) 1+2i ou \frac{-1+2\sqrt[2]{3}}{2}+\frac{\sqrt[2]{3}-2} { 2 } i ou \frac{-1-2\sqrt[2]{3}}{2}-\frac{\sqrt[2]{3}-2} { 2 } i

2°) -3+i ou 3-i ou 1+3i ou -1-3i

Eu tentei aplicar a segunda fórmula de Moivre, mas me perco nesses dois últimos, só consegui com raízes quadradas.
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Re: [Número Complexo] Exercício básico...

Mensagempor Russman » Seg Set 10, 2012 15:56

A fórmula de Moivre calcula potências e as n raízes n-ésimas de um número, em geral, complexo! Mas veja que a mesma calcula raízes de números puramente reais também( claro, todo Real é complexo).

Seja z um complexo de argumento \theta. Assim,

z^n=\left|z \right|^n\left(cos(n\theta+2nk\pi)+i.sin(n\theta+2nk\pi) \right)

onde k=0,1,2,3,...,n-1.

No primeiro caso, temos

\sqrt[3]{-11-2i} = (\sqrt[]{11^2+2^2})^\frac{1}{3}\left(cos(n\theta+2nk\pi)+i.sin(n\theta+2nk\pi) \right)

onde \theta = arctan\left(\frac{-2}{-11} \right)=arctan\left(\frac{2}{11} \right) .

Agora faça k=0,1,2 e calcule as 3 raízes.
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.