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[Raiz número complexo] Exercício fora do padrão

[Raiz número complexo] Exercício fora do padrão

Mensagempor Bruno G Carneiro » Sex Jun 08, 2012 20:54

Estou estudando equações diferenciais e para solucionar algumas é necessário encontrar algumas raízes em números complexos.

O livro deu um exemplo e passou algumas questões, mas uma delas foge o padrão do exemplo e eu não estou conseguindo resolver.

Equações Diferenciais, Boyce e DiPrima, Seção 4.2, Ex 8

Determine a raiz do número complexo dado]
(1-i)^{\frac{1}{2}}

1-1i = e^{7\frac{pi}{4} + 2m*pi}
(1-1i)^{\frac{1}{2}} = cos(7 \frac{pi}{8} + m*pi) + i sen(7 \frac{pi}{8} + m*pi)

Como prosseguir? Não sei como calcular o cos e o sen de 7/8 pi...

Resposta do livro: 2^{1/4}e^{(-pi*i)/8} , 2^{1/4}e^{(7pi*i)/8}
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Re: [Raiz número complexo] Exercício fora do padrão

Mensagempor fraol » Qua Jun 20, 2012 22:35

Boa noite,

O desenvolvimento de (1 -i)^{\frac{1}{2}} é o seguinte:

O número complexo é 1 - i, então:

seu módulo é \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} e

seu argumento é \theta = - \frac{\pi}{4}.

Do Teorema de Moivre vem que: (1 -i)^{\frac{1}{2}} = {(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}} \left[ cos(- \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}) + i sen(- \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}) \right] = 2^{\frac{1}{4}} \left[ cos(- \frac{\pi}{8} ) + i sen(- \frac{\pi}{8} ) \right].

Pela Relação de Euler temos que \left[ cos(- \frac{\pi}{8}) + i sen(- \frac{\pi}{8}) \right] = e^{ - i \frac{\pi}{8}}.

Agora juntemos os dois últimos resultados e chegamos a:

(1 -i)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} e^{- i \frac{\pi}{8}}.


.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.