[Igualdade de Euler] Trigonometria e Complexos

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[Igualdade de Euler] Trigonometria e Complexos

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[Igualdade de Euler] Trigonometria e Complexos

Mensagempor clecio » Ter Ago 16, 2011 20:56

Boa noite !

Não estou conseguindo resolver estes exercícios alguem sabe ajudar ?

1) Prove ou verifique algebricamente a igualdade das relações de Euler:
(I)
{e}^{+j*\theta}=cos(\theta)+jsen(\theta)

e

(II)
{e}^{-j*\theta}=cos(\theta)-jsen(\theta)

2) Determine a equação do cosseno em função da exponencial complexa adicionando as equações (I) e (II).
3) Determine a equação do seno em função da exponencial complexa subtraindo a equação (II) da (I).


Obrigado...
clecio
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Re: [Igualdade de Euler] Trigonometria e Complexos

Mensagempor MarceloFantini » Qua Set 21, 2011 22:14

Você pode verificar fazendo a expansão por série de MacLaurin e admitindo i como uma constante, basta rearranjar para encontrar as séries do seno e cosseno. Os outros itens basta você somar e subtrair as equações para encontrar o desejado. Qual foi sua dificuldade?
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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