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DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
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Última mensagem por Janayna
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por michelle » Dom Ago 31, 2008 15:35
Há como resolver essa questão sem usar as relações trigonometricas???
(Unifei-M) Considerando os números complexos r = 1+ i e s = 1- i , pode-se afirmar que o produto
![{r}^{12}.{s}^{-11} {r}^{12}.{s}^{-11}](/latexrender/pictures/42503b9720fbfe1d90c6a686bfd962a3.png)
vale:
A. s .
B. 2r .
C. 2s .
D. r .
Alguém pode me ajudar???
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michelle
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por admin » Dom Ago 31, 2008 18:46
Olá Michelle, boa tarde, seja bem-vinda ao fórum!
Uma alternativa seria utilizar a
identidade do binômio de Newton, considerando a potência do número complexo
![\left( x+yi \right)^n \left( x+yi \right)^n](/latexrender/pictures/038d89bf13c64afe5cd83628f2440fed.png)
, com
![n \in \math{Z} n \in \math{Z}](/latexrender/pictures/e70221655ea64b745afbec6a5966250a.png)
, mas acredito que daria muito mais trabalho.
Neste tópico há uma resposta minha com uma citação a esta identidade:
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=114&t=148Você conseguiu fazer de alguma forma?
Este exercício fica bem interessante e envolve várias tarefas ao escrever os números complexos na
forma trigonométrica (ou polar), encontrando o
módulo ![\rho \rho](/latexrender/pictures/d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.png)
e o
argumento ![\theta \theta](/latexrender/pictures/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
.
Sendo
![z z](/latexrender/pictures/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png)
este complexo, não nulo:
![z = \rho (cos\;\theta + isen\;\theta) z = \rho (cos\;\theta + isen\;\theta)](/latexrender/pictures/a4ce31a003222fa0c6ddb122cf6f3fdb.png)
É importante já aqui visualizar estes conceitos com a representação do número complexo no
plano de Argand-Gauss, revise este assunto.
Em seguida, para a potenciação na forma polar, utilizamos o resultado de um teorema, a chamada
fórmula de Moivre, com
![n n](/latexrender/pictures/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png)
inteiro:
![z^n = \rho^n (cos\;n\theta + isen\;n\theta) z^n = \rho^n (cos\;n\theta + isen\;n\theta)](/latexrender/pictures/3622514246a00cf0f3ee98fcff07140e.png)
Uma das tarefas intermediárias aqui será a
redução ao 1º quadrante, ao calcular as potências.
Você deverá obter
![1-i 1-i](/latexrender/pictures/2a8212ff191b526a10f2aeec031569f5.png)
como resposta para o produto, ou seja,
![s s](/latexrender/pictures/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
, alternativa (a).
![Idea :idea:](./images/smilies/light.gif)
Outra dica:
Calcule separadamente, numerador e denominador deste quociente
![\frac{r^{12}}{s^{11}} \frac{r^{12}}{s^{11}}](/latexrender/pictures/407f6f1e157ed02da94afa057015b2d7.png)
.
Bons estudos e comente suas dúvidas...
Espero ter ajudado!
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por michelle » Dom Ago 31, 2008 20:22
Tentei resolver assim:
![\frac{{(1+i)}^{12}}{{(1-i)}^{11}}=\frac{{({(1+i)}^{2})}^{6}}{(1-i).{(1-i)}^{10}}=\frac{{(2i)}^{6}}{(1-i){(-2i)}^{5}}=\frac{-64}{(1-i).-32.i} \frac{{(1+i)}^{12}}{{(1-i)}^{11}}=\frac{{({(1+i)}^{2})}^{6}}{(1-i).{(1-i)}^{10}}=\frac{{(2i)}^{6}}{(1-i){(-2i)}^{5}}=\frac{-64}{(1-i).-32.i}](/latexrender/pictures/46495492302f6c01d4701043918689b6.png)
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por admin » Dom Ago 31, 2008 21:00
Olá Michelle, boa noite!
Esta sua resolução também está correta, parabéns!
Terminando de simplificar, também teremos o resultado
![1-i 1-i](/latexrender/pictures/2a8212ff191b526a10f2aeec031569f5.png)
.
Para estudo, vale o exercício ao resolver por Moivre.
Até mais!
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Ter Jun 16, 2009 15:14
Números Complexos
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
![\frac{4\pi{r}^{2}}{3} \frac{4\pi{r}^{2}}{3}](/latexrender/pictures/4adf93ac70d8d95c78076c395c86eed1.png)
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
![\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15} \frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}](/latexrender/pictures/3459136506140a79d4694194c4171922.png)
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