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Números Complexos

Números Complexos

Mensagempor michelle » Dom Ago 31, 2008 15:35

Há como resolver essa questão sem usar as relações trigonometricas???

(Unifei-M) Considerando os números complexos r = 1+ i e s = 1- i , pode-se afirmar que o produto {r}^{12}.{s}^{-11} vale:
A. s .
B. 2r .
C. 2s .
D. r .

Alguém pode me ajudar???
michelle
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Re: Números Complexos

Mensagempor admin » Dom Ago 31, 2008 18:46

Olá Michelle, boa tarde, seja bem-vinda ao fórum!

Uma alternativa seria utilizar a identidade do binômio de Newton, considerando a potência do número complexo \left( x+yi \right)^n, com n \in \math{Z}, mas acredito que daria muito mais trabalho.
Neste tópico há uma resposta minha com uma citação a esta identidade: http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=114&t=148

Você conseguiu fazer de alguma forma?
Este exercício fica bem interessante e envolve várias tarefas ao escrever os números complexos na forma trigonométrica (ou polar), encontrando o módulo \rho e o argumento \theta.
Sendo z este complexo, não nulo:
z = \rho (cos\;\theta + isen\;\theta)


É importante já aqui visualizar estes conceitos com a representação do número complexo no plano de Argand-Gauss, revise este assunto.

Em seguida, para a potenciação na forma polar, utilizamos o resultado de um teorema, a chamada fórmula de Moivre, com n inteiro:
z^n = \rho^n (cos\;n\theta + isen\;n\theta)

Uma das tarefas intermediárias aqui será a redução ao 1º quadrante, ao calcular as potências.
Você deverá obter 1-i como resposta para o produto, ou seja, s, alternativa (a).

:idea: Outra dica:
Calcule separadamente, numerador e denominador deste quociente \frac{r^{12}}{s^{11}}.

Bons estudos e comente suas dúvidas...
Espero ter ajudado!
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Re: Números Complexos

Mensagempor michelle » Dom Ago 31, 2008 20:22

Tentei resolver assim:
\frac{{(1+i)}^{12}}{{(1-i)}^{11}}=\frac{{({(1+i)}^{2})}^{6}}{(1-i).{(1-i)}^{10}}=\frac{{(2i)}^{6}}{(1-i){(-2i)}^{5}}=\frac{-64}{(1-i).-32.i}
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Re: Números Complexos

Mensagempor admin » Dom Ago 31, 2008 21:00

Olá Michelle, boa noite!

Esta sua resolução também está correta, parabéns!
Terminando de simplificar, também teremos o resultado 1-i.

Para estudo, vale o exercício ao resolver por Moivre.

Até mais!
Fábio Sousa
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.