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Números Complexos

Números Complexos

Mensagempor michelle » Dom Ago 31, 2008 15:35

Há como resolver essa questão sem usar as relações trigonometricas???

(Unifei-M) Considerando os números complexos r = 1+ i e s = 1- i , pode-se afirmar que o produto {r}^{12}.{s}^{-11} vale:
A. s .
B. 2r .
C. 2s .
D. r .

Alguém pode me ajudar???
michelle
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Re: Números Complexos

Mensagempor fabiosousa » Dom Ago 31, 2008 18:46

Olá Michelle, boa tarde, seja bem-vinda ao fórum!

Uma alternativa seria utilizar a identidade do binômio de Newton, considerando a potência do número complexo \left( x+yi \right)^n, com n \in \math{Z}, mas acredito que daria muito mais trabalho.
Neste tópico há uma resposta minha com uma citação a esta identidade: http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=114&t=148

Você conseguiu fazer de alguma forma?
Este exercício fica bem interessante e envolve várias tarefas ao escrever os números complexos na forma trigonométrica (ou polar), encontrando o módulo \rho e o argumento \theta.
Sendo z este complexo, não nulo:
z = \rho (cos\;\theta + isen\;\theta)


É importante já aqui visualizar estes conceitos com a representação do número complexo no plano de Argand-Gauss, revise este assunto.

Em seguida, para a potenciação na forma polar, utilizamos o resultado de um teorema, a chamada fórmula de Moivre, com n inteiro:
z^n = \rho^n (cos\;n\theta + isen\;n\theta)

Uma das tarefas intermediárias aqui será a redução ao 1º quadrante, ao calcular as potências.
Você deverá obter 1-i como resposta para o produto, ou seja, s, alternativa (a).

:idea: Outra dica:
Calcule separadamente, numerador e denominador deste quociente \frac{r^{12}}{s^{11}}.

Bons estudos e comente suas dúvidas...
Espero ter ajudado!
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Re: Números Complexos

Mensagempor michelle » Dom Ago 31, 2008 20:22

Tentei resolver assim:
\frac{{(1+i)}^{12}}{{(1-i)}^{11}}=\frac{{({(1+i)}^{2})}^{6}}{(1-i).{(1-i)}^{10}}=\frac{{(2i)}^{6}}{(1-i){(-2i)}^{5}}=\frac{-64}{(1-i).-32.i}
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Re: Números Complexos

Mensagempor fabiosousa » Dom Ago 31, 2008 21:00

Olá Michelle, boa noite!

Esta sua resolução também está correta, parabéns!
Terminando de simplificar, também teremos o resultado 1-i.

Para estudo, vale o exercício ao resolver por Moivre.

Até mais!
Fábio Sousa
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.