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Números Complexos

Números Complexos

Mensagempor michelle » Dom Ago 31, 2008 15:35

Há como resolver essa questão sem usar as relações trigonometricas???

(Unifei-M) Considerando os números complexos r = 1+ i e s = 1- i , pode-se afirmar que o produto {r}^{12}.{s}^{-11} vale:
A. s .
B. 2r .
C. 2s .
D. r .

Alguém pode me ajudar???
michelle
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Re: Números Complexos

Mensagempor admin » Dom Ago 31, 2008 18:46

Olá Michelle, boa tarde, seja bem-vinda ao fórum!

Uma alternativa seria utilizar a identidade do binômio de Newton, considerando a potência do número complexo \left( x+yi \right)^n, com n \in \math{Z}, mas acredito que daria muito mais trabalho.
Neste tópico há uma resposta minha com uma citação a esta identidade: http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=114&t=148

Você conseguiu fazer de alguma forma?
Este exercício fica bem interessante e envolve várias tarefas ao escrever os números complexos na forma trigonométrica (ou polar), encontrando o módulo \rho e o argumento \theta.
Sendo z este complexo, não nulo:
z = \rho (cos\;\theta + isen\;\theta)


É importante já aqui visualizar estes conceitos com a representação do número complexo no plano de Argand-Gauss, revise este assunto.

Em seguida, para a potenciação na forma polar, utilizamos o resultado de um teorema, a chamada fórmula de Moivre, com n inteiro:
z^n = \rho^n (cos\;n\theta + isen\;n\theta)

Uma das tarefas intermediárias aqui será a redução ao 1º quadrante, ao calcular as potências.
Você deverá obter 1-i como resposta para o produto, ou seja, s, alternativa (a).

:idea: Outra dica:
Calcule separadamente, numerador e denominador deste quociente \frac{r^{12}}{s^{11}}.

Bons estudos e comente suas dúvidas...
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Números Complexos

Mensagempor michelle » Dom Ago 31, 2008 20:22

Tentei resolver assim:
\frac{{(1+i)}^{12}}{{(1-i)}^{11}}=\frac{{({(1+i)}^{2})}^{6}}{(1-i).{(1-i)}^{10}}=\frac{{(2i)}^{6}}{(1-i){(-2i)}^{5}}=\frac{-64}{(1-i).-32.i}
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Re: Números Complexos

Mensagempor admin » Dom Ago 31, 2008 21:00

Olá Michelle, boa noite!

Esta sua resolução também está correta, parabéns!
Terminando de simplificar, também teremos o resultado 1-i.

Para estudo, vale o exercício ao resolver por Moivre.

Até mais!
Fábio Sousa
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59