Ajuda Matemática

(este-ita-escola tecnica do exercito,instituto tecnologico de aeronautica-exame de admissao 1947)
determinar os numeros complexos que gozam da propriedade de ter o quadrado e o complexo conjugado identicos.

adauto martins escreveu:(este-ita-escola tecnica do exercito,instituto tecnologico de aeronautica-exame de admissao 1947)
determinar os numeros complexos que gozam da propriedade de ter o quadrado e o complexo conjugado identicos.

Seja $\mathbf{z = a + bi}$ , com $\mathtt{a, b \in \mathbb{R}}$ o número complexo em questão. Portanto, ele deverá satisfazer

$\mathbf{(a + bi)^2 = a - bi}$

Segue,

$\\ \mathsf{(a + bi)^2 = a - bi} \\ \mathsf{a^2 + 2abi - b^2 = a - bi} \\ \mathsf{(a^2 - b^2) + 2abi = a - bi}$

Comparando parte real e imaginária, teremos:

$\begin{cases}\mathsf{a^2 - b^2 = a \quad \ \qquad (i)} \\ \mathsf{2ab = - b \qquad \qquad (ii)} \end{cases}$

Resolvendo (ii),

$\\ \mathsf{2ab = - b} \\ \mathsf{2ab + b = 0} \\ \mathsf{b(2a + 1) = 0}$

CASO I: $\mathtt{b \neq 0}$

$\\ \mathsf{2a + 1 = 0} \\ \boxed{\mathsf{a = - \frac{1}{2}}}$

Substituindo em (i),

$\\ \mathsf{a^2 - b^2 = a} \\\\ \mathsf{b^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \\\\ \mathsf{b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{z_1 = - \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}}}}$ e $\boxed{\boxed{\mathsf{z_2 = - \frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}}}}$

CASO II: $\mathtt{b = 0}$

Substituindo em (ii),

$\\ \mathsf{a^2 - b^2 = a} \\\\ \mathsf{a^2 - a = 0} \\\\ \mathsf{a(a - 1) = 0} \\\\ \mathsf{S_a = \left \{ 0, 1 \right \}}$

Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{z_3 = 0}}}$ e $\boxed{\boxed{\mathsf{z_4 = 1}}}$ .

soluçao correta:
${z}^{2}\in \Re\Rightarrow {z}^{2}=\left|({z}^{-}) \right|$ ,pois $({z}^{-})\in C$ e onde $({z}^{-})$ e o complexo conjudao de z...

,logo:
${z}^{2}=\sqrt[]{z.({z}^{-})}\Rightarrow {z}^{4}-z.({z}^{-})=0 z.({z}^{3}-({z}^{-})=0\Rightarrow z=0,{z}^{3}=({z}^{-})...$

correçao:
cometi um erro grave,pois ${z}^{2}\in C$ ,pois $z=x+yi\Rightarrow {z}^{2}=({x}^{2}-{y}^{2})+2xyi...$
logo a soluçao do colega daniel e a soluçao correta...obrigado...

usando a soluçao anterior,faremos uma soluçao mais geral que a feita pelo colega daniel,que esta correta:

${z}^{2}={z}^{-}\Rightarrow({r.{e}^{i\theta})^{2}=r.{e}^{-i\theta} r=1...2\theta=-\theta + 2k\pi...\theta=2k\pi/3... z=cos(2k\pi/3)+ sen(2k\pi/3)i...$

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