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exerc.proposto

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Mensagempor adauto martins » Seg Set 16, 2019 16:09

(este-ita-escola tecnica do exercito,instituto tecnologico de aeronautica-exame de admissao 1947)
determinar os numeros complexos que gozam da propriedade de ter o quadrado e o complexo conjugado identicos.
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Re: exerc.proposto

Mensagempor DanielFerreira » Ter Set 17, 2019 12:04

adauto martins escreveu:(este-ita-escola tecnica do exercito,instituto tecnologico de aeronautica-exame de admissao 1947)
determinar os numeros complexos que gozam da propriedade de ter o quadrado e o complexo conjugado identicos.


Seja \mathbf{z = a + bi}, com \mathtt{a, b \in \mathbb{R}} o número complexo em questão. Portanto, ele deverá satisfazer

\mathbf{(a + bi)^2 = a - bi}

Segue,

\\ \mathsf{(a + bi)^2 = a - bi} \\ \mathsf{a^2 + 2abi - b^2 = a - bi} \\ \mathsf{(a^2 - b^2) + 2abi = a - bi}

Comparando parte real e imaginária, teremos:

\begin{cases}\mathsf{a^2 - b^2 = a \quad \ \qquad (i)} \\ \mathsf{2ab = - b \qquad \qquad (ii)} \end{cases}


Resolvendo (ii),

\\ \mathsf{2ab = - b} \\ \mathsf{2ab + b = 0} \\ \mathsf{b(2a + 1) = 0}


CASO I: \mathtt{b \neq 0}

\\ \mathsf{2a + 1 = 0} \\ \boxed{\mathsf{a = - \frac{1}{2}}}

Substituindo em (i),

\\ \mathsf{a^2 - b^2 = a} \\\\ \mathsf{b^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \\\\ \mathsf{b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}

Logo, \boxed{\boxed{\mathsf{z_1 = - \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}}}} e \boxed{\boxed{\mathsf{z_2 = - \frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}}}}


CASO II: \mathtt{b = 0}

Substituindo em (ii),

\\ \mathsf{a^2 - b^2 = a} \\\\ \mathsf{a^2 - a = 0} \\\\ \mathsf{a(a - 1) = 0} \\\\ \mathsf{S_a = \left \{ 0, 1 \right \}}

Logo, \boxed{\boxed{\mathsf{z_3 = 0}}} e \boxed{\boxed{\mathsf{z_4 = 1}}}.
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Re: exerc.proposto

Mensagempor adauto martins » Dom Set 22, 2019 12:01

soluçao correta:
{z}^{2}\in \Re\Rightarrow {z}^{2}=\left|({z}^{-}) \right|,pois ({z}^{-})\in C e onde({z}^{-}) e o complexo conjudao de z...,logo:
{z}^{2}=\sqrt[]{z.({z}^{-})}\Rightarrow {z}^{4}-z.({z}^{-})=0

z.({z}^{3}-({z}^{-})=0\Rightarrow z=0,{z}^{3}=({z}^{-})...
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Re: exerc.proposto

Mensagempor adauto martins » Dom Set 22, 2019 12:17

correçao:
cometi um erro grave,pois {z}^{2}\in C,pois z=x+yi\Rightarrow {z}^{2}=({x}^{2}-{y}^{2})+2xyi...
logo a soluçao do colega daniel e a soluçao correta...obrigado...
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Re: exerc.proposto

Mensagempor adauto martins » Sex Out 11, 2019 10:34

usando a soluçao anterior,faremos uma soluçao mais geral que a feita pelo colega daniel,que esta correta:

{z}^{2}={z}^{-}\Rightarrow({r.{e}^{i\theta})^{2}=r.{e}^{-i\theta}

r=1...2\theta=-\theta + 2k\pi...\theta=2k\pi/3...

z=cos(2k\pi/3)+ sen(2k\pi/3)i...
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.