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somatória com número complexo

somatória com número complexo

Mensagempor ezidia51 » Qua Abr 04, 2018 17:44

Alguém pode me ajudar com esta somatória de número complexo?
\sum_{n=1}^{20.241} i^n sendo que i^2=-1
ezidia51
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Re: somatória com número complexo

Mensagempor Gebe » Qui Abr 05, 2018 01:22

Nesse tipo de questao (somatorias e sequencias) é sempre interessante escreve um pedaço da somatoria para melhor avalia-la. Sendo assim podemos escrever alguns termos:
\sum_{1}^{20241}i^n=(i)+(-1)+(-i)+(1)+(i)+(-1)+(-i)+(1)+(i)...

Consegue ver um padrão? Perceba que temos sempre termos se cancelando, veja, por exemplo, que o 1° termo se cancela com o 3° e o 2° com o 4°.
Esse comportamento acontece de 4 em 4 termos, ou seja, passados 4 termos a sequencia se repete.

Apenas com isso ja temos apenas 4 alternativas, podemos acabar o somatorio com todos termos cancelados resultando 0, podemos acabar no termo i (resultando i), no termo -1 (resultando i-1) e no termo -i (resultando -1).

Para saber qual dessas é a nossa resposta basta dividirmos o numero de termos do somatorio por 4, ou seja, queremos saber quantas daquelas sequencias que mencionamos cabem no somatorio.

\\
\frac{20241}{4}=5060+\frac{1}{4}

Couberam 5060 sequencias e sobrou ainda um termo, ou seja, o ultimo termo do somatorio i^20241 seria o começo de uma nova sequencia, portanto nossa resposta é i (todos outros termos se cancelaram).

Espero ter ajudado, qualquer duvida mande msg. Bons estudos.
Gebe
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Re: somatória com número complexo

Mensagempor ezidia51 » Qui Abr 05, 2018 13:08

Um super muito obrigado!!!! :y: :y: :y: :y: :y: :y: Você tem me ajudado muito !!!Muito obrigado mesmo!!!
ezidia51
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Re: somatória com número complexo

Mensagempor Gebe » Qui Abr 05, 2018 13:32

:y:
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?