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<=====Números Complexos-Média Geométrica=====>

<=====Números Complexos-Média Geométrica=====>

Mensagempor futuromilitar » Qui Mai 26, 2016 22:08

Sendo P(X)= x^3+x^2+x+a divisível por (x-1), a média geometrica das raízes complexas é:

a)1
b)\sqrt[2]{i}
c)-\sqrt[2]{i}
d)i
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Re: <=====Números Complexos-Média Geométrica=====>

Mensagempor DanielFerreira » Ter Mai 31, 2016 00:44

Ora, se P(x) é divisível por (x - 1), então P(1) = 0.

Com isso,

\\ P(x) = x^3 + x^2 + x + a \\ P(1) = 1 + 1 + 1 + a \\ a + 3 = 0 \\ \boxed{a = - 3}

Efectuando a divisão,

+ x³ + x² + x - 3 | x - 1
--------------------| x² + 2x + 3
+ x³ + x²
- x³ + x²
---------------------
+ 2x² + x - 3
- 2x² + 2x
---------------------
+ 3x - 3
- 3x + 3
---------------------
0

Resolvendo a equação x^2 + 2x + 3 = 0:

\\ x^2 + 2x + 3 = 0 \\\\ \Delta = 4 - 12 \\\\ \Delta = - 8 \\\\ \Delta = 8i^2 \\\\ x = \frac{- 2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} \\\\ \boxed{x = - 1 \pm i\sqrt{2}}

Por fim, calculamos a média geométrica entre (- 1 - i\sqrt{2}) e (- 1 + i\sqrt{2}). Daí,

\\ M_g = \sqrt[2]{(- 1 - i\sqrt{2})(- 1 + i\sqrt{2})} \\\\ M_g = \sqrt[2]{-(1 + i\sqrt{2})(- 1 + i\sqrt{2})} \\\\ M_g = \sqrt[2]{-(- 1 + i^2 \cdot 2)} \\\\ M_g = \sqrt[2]{- (- 1 - 2)} \\\\ \boxed{\boxed{M_g = \sqrt{3}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.