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[Números Complexos] Questão envolvendo Potenciação

[Números Complexos] Questão envolvendo Potenciação

Mensagempor everton_stark » Sáb Dez 26, 2015 22:49

Saudações à todos!

Estudando sobre o assunto cheguei a um exercício que pede o seguinte: Seja 'z' um número complexo tal que z = 2 + i2√3, z³ corresponde a que valor?

Bom no começo tentei colocar: (2 + i2√3)x(2 + i2√3)x(2 + i2√3), mas não bateu com a resposta do gabarito. Em seguida pesquisando na internet achei uma fórmula que dizia que para z³ teríamos: (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³)i, mas também não consegui chegar a resposta do gabarito. A resposta que consta aqui é que o resultado é: 512 - i512√3.
everton_stark
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Re: [Números Complexos] Questão envolvendo Potenciação

Mensagempor rzarour » Sex Abr 01, 2016 07:18

Prezado Everton,

Segundo consta em literatura sobre o assunto, os coeficientes binomiais nos permite resolver {\left(2+i2\sqrt[]{3} \right)}^{3} utilizando o arranjo {a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}, o que nos dá como resultado o valor real de -64, que pode ser conferido em http://www.wolframalpha.com/widgets/vie ... 508e18d483 entrando com 2+i*2*3^(1/2) para o campo z1, utilizando a operação Involution (z1^z2) e o valor 3 em z2 (potência desejada para z1); clique em Submit e aguarde uns poucos segundos.

Caso a resposta certa seja diferente da encontrada, aprenderemos juntos tão logo alguém nos passe o caminho das pedras.

Um abraço,
rzarour
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.