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Números complexos módulo de dois números complexos important

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Mensagempor elisamaria » Qui Jun 11, 2015 16:56

Considere z um número complexo cujas partes, real e imaginária, não se anulam simultaneamente. Então, os números complexos que satisfazem a equação z + 1/z = 1, possuem módulo igual a:

a) 1/2.
b) √3/2.
c) √3.
d) 1.
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Re: Números complexos módulo de dois números complexos impor

Mensagempor nakagumahissao » Qui Jun 11, 2015 19:20

Resolução:

[1] z + \frac{1}{z} = 1

Tomemos z como sendo:

z = a + bi

e substituindo em [1], teremos:

z + \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow z \cdot z + 1 = 1

\left(a + bi \right)\left(a + bi \right) + 1 = 1 \Leftrightarrow a^2 + abi + abi + b^2i^2 = a^2 + 2abi - b^2 = 1

a^2 + 2abi - b^2 \equiv 1 \Rightarrow (a^2 - b^2) + 2abi \equiv 1

Desta última sabemos o valor Real e o imaginário necessário para calcular a e b. Dessa maneira, temos que:

a^2 - b^2 = 1

2ab = 0

Desta última, sabemos que a ou b vale 0, mas não ambos, pois as partes, real e imaginária, não se anulam simultaneamente conforme o enunciado.

Façamos b = 0 e calculemos a:

a^2 + b^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 + 0^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 + 0 = 1 \Leftrightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1

Portanto, a e b poderão ser:

a = \pm 1

b = 0

ou

b = \pm 1

a = 0

Quanto ao módulo sendo procurado, para quaisquer um dos resultados acima, deverá ser:

\left|z \right| = \sqrt[]{\left(\pm 1 \right)^{2} + 0^2} = 1

Portanto, a opção correta é a letra (D).


Espero ter auxiliado.
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.


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