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Numeros complexos!

Numeros complexos!

Mensagempor Estela » Seg Mar 17, 2008 00:57

Encontre a equação do 2° grau cujas raizes sao -5 + 2i e -5-2i!
??????????????
Estela
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor admin » Seg Mar 17, 2008 01:10

Olá Estela.
É importante que você comente o que tentou e suas dificuldades.
Pouco ajuda somente ver a resolução.
Exercite especificar sua dúvida, não somente o enunciado.
As dúvidas sempre surgem conforme começamos a entender algo.

Vamos interagir com o exercício!

Comece refletindo sobre o significado de raiz.
Algebricamente, o significa um número ser raiz de uma equação do segundo grau?
E no gráfico, qual o significado de raiz?
Podemos visualizar estas raízes citadas no plano cartesiano?
Estude os casos de raízes reais e raízes imaginárias.

Aguardo.
Bons estudos!
Fábio Sousa
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor Estela » Seg Mar 17, 2008 20:25

Raiz são os numeros q multiplicados geram outros .Ex 2.2=4, portanto raiz de 4 é 2!
Ser raiz de uma equação de segundo grau significa ser os dois valores , de x.Porque x² divide-se em x` e x``
No grafico a raiz eh o ponto no eixo do x , onde y vale zero!
Estas raizes do exercício podem ser representadas: o -5 no eixo x e o +2i e -2i no eixo y que e o dos numeros complexos!
Não sei se é isso, falei como me veio a cabeça, não sei se me expressei bem.Mas mesmo pensando nisso não sei como começar!
Pensei em usar a "f.geral" ax²+bx+c!mas não deu em nada!Pensei em usar o delta b²-4ac...mas não chego a nenhuma conclusão!
Desculpas...
Mas realmente não consigo resolvê-lo!
Estela
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor admin » Ter Mar 18, 2008 01:18

Olá Estela.

A representação que você citou pode ser feita no plano de Argand-Gauss, ou plano complexo.
No plano cartesiano, onde x e y são reais, estes números complexos não "aparecem".

Tanto é que após, quando você encontrar a função do segundo grau pedida, represente-a no plano cartesiano e reflita sobre esta sua afirmação:
No grafico a raiz eh o ponto no eixo do x , onde y vale zero!


Você verá que como as raízes são complexas, o gráfico não toca o eixo x, diferentemente do que ocorre quando as raízes são reais.



Vou elucidar a idéia da solução.
Nesta equação:

y = (x-a) \cdot (x-b)

As raízes são a ou b, pois para ambos os casos teremos:
y = (x-a) \cdot (x-b) = 0

Veja, se x=a:
y = (a-a) \cdot (a-b)
y = 0 \cdot (a-b)
y = 0

Se x=b:
y = (b-a) \cdot (b-b)
y = (b-a) \cdot 0
y = 0


Para encontrar a equação do 2º grau pedida, substitua as raízes informadas aqui:
y = (x-a) \cdot (x-b)

Sendo:
a=-5+2i

b=-5-2i

Cuidado com os sinais ao substituir.
Depois, faça a distributiva.

Também, note que a unidade imaginária é:
i = \sqrt{-1}

Ou seja:
i^2 = -1

Após a distributiva, cancele algumas parcelas e substitua i^2 por -1.
Você terá a equação do 2º grau!

Por curiosidade, depois vale representar a função relacionada no gráfico para constatar que ela não toca o eixo x.
Comente caso tenha alguma dúvida.

Espero ter ajudado!
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor andegledson » Qui Out 29, 2009 15:43

Achei muito interessante o site, por acaso acabei sendo direcionado para ele....ehehhe...ainda bem!!! :lol:

Na realidade estou interessado em saber a origem da formula abaixo:

Para encontrar a equação do 2º grau pedida, substitua as raízes informadas aqui:

y = (x-a) \cdot (x-b),

a mesma foi utilizada para solucionar a duvida de estela e, de fato, se aplica muito bem...entretanto, nao tenho conhecimento da mesma, e por fim, gostaria de saber um pouco mais sobre a mesma!!! :-D
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Out 31, 2009 12:48

Olá Estela.

Encontre a equação do 2° grau cujas raizes sao -5 + 2i e -5-2i

{x}_{1}=-5+2i

e

{x}_{2}=-5-2i

Deixe {x}_{1} e {x}_{2} iguais a "zero" e multiplique-os.

[x+(5-2i)][x+(5+2i)]=0

{x}^{2}+5x+10ix+5x-10ix+25+10i-10i+4=0

Daí temos a equação:

{x}^{2}+10x+29=0

Qualquer dúvida comente!
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor Elcioschin » Sáb Out 31, 2009 13:10

andegledson

Procure na Internet ou em algum livro de matemática o assunto "Relações de Girardi";

y = ax² + bx + c ----> Sejam m, n as duas raízes. Pelas relações de Girard:

m + n = - b/a

m*n = c/a

y = a*[x² - (b/a)*x + c/a] ----> y = a*[x² - (m + n)*x + m*n] ----> y = a*(x² - mx - nx + mn) ---> y= a*(x - m)*(x - n)

Viu agora de onde saiu a fórmula que o Fábio mostrou? ----> Substitua m, n por a, b.
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Re: Numeros complexos!

Mensagempor andegledson » Seg Nov 02, 2009 21:41

Ok, muito obrigado!! :y:
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?