valor de x, MMC e MDC

por **leticiapires52** » Dom Mai 11, 2014 18:31

Descubra qual é o valor de x, sabendo que x é um número natural em que m.m.c (14, x) = 154 e m.d.c (14, x) = 1, então podemos dizer que x será?
a) x é divisível por 11
b) x é maior que 50
c) x é um número par
d) x não é um número primo
e) x é múltiplo de 14

Como calculo isso

por **Russman** » Dom Mai 11, 2014 21:10

Se $\mathrm{mdc}(14,x)=1$ então

não é múltiplo de

e nem de

. É o mesmo que dizer que

e

são primos entre si.

Se $\mathrm{mmc}(14,x) = 154$ então deve existir $n \in \mathbb{N}$ tal que x.n=154

. Mas, como 154 = 2.7.11

e

não é divisível por

e nem por

, então só pode ser divisível por

.

por **e8group** » Dom Mai 11, 2014 23:12

Tudo acima está certo , só acrescentando ...

Há um grande resultado que estabelece a igualdade ab = mdc(a,b)mmc(a,b)

.(Embora não pede-se a dedução desta fórmula ,já que sugerir a aplicação da mesma vou postar a minha interpretação de como a mesma foi obtida , que não necessariamente é a mais adequada aos padrões de Teoria do Números uma vez que ainda não estudei isto )

Se quiser ir direto ao ponto ignore a dedução da mesma .

$ab = mdc(a,b)mmc(a,b) \implies x \cdot 14 = 154 \cdot 1 \implies x = 11$ (que condiz com a resposta por Russman )

Obtendo a fórmula .

Seja $a,b \neq 0$ inteiros. Seja L_1, L_2

o conjuntos de todos os múltiplos (positivos ) de

e

respectivamente .

O menor elemento ,digamos x_0

, que está na interseção de

por

é minimo múltiplo comum de

e

, isto é , $x_0 := mmc(a,b) = min L_1 \cap L_2$ .

Pelo Teorema fundamental da aritmética (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fu ... %C3%A9tica) , existe $p_1 ,\hdots , p_r$ primos distintos e inteiros $d_1 , \hdots , d_r , w_1,\hdots , w_r , s_1,\hdots , s_r ,$ não negativos tais que

$x_0 = \prod_{j=1}^r p_j^{d_j}$ .

$a = \pm \prod_{j=1}^r p_j^{w_j}$

$b= \pm \prod_{j=1}^r p_j^{s_j}$ .

Segue como definimos x_0

que $x_0 \geq max\{|a|,|b| \}$ , logo para cada j=1,2,3,...,r

temos $d_j \geq max\{w_j, s_j\}$ . Mas pela minimalidade de x_0

,obtemos $d_j = max\{w_j,s_j\}$ e assim , $x_0 = \prod_{j=1}^r p_j^{max\{w_j,s_j\}}$ .

Observe que é isto que fazemos para descobrir o mmc entre números

50 = $2 \times 5^2$
40 = $2^3 \times 5$

L_1 : 50,100,150, 200,...

L_2: 40,80,120 ,160,200 ,...

e 200 = $2^3 \cdot 5^2$

Agora sendo mais breve possível ...

E se x_0

fosse o maior divisor de a ,b

(isto é

) ?

R.Teríamos $x_0 \leq min\{|a|, |b| \}$ e isto implicaria que $d_j \leq \min \{w_j, s_j\}$ , mas pela maximalidade de x_0

(pois ele é o maior divisor de a e b ) obteríamos $d_j = \min \{w_j, s_j\}$ . Assim , $mdc(a,b) = \prod_{j=1}^r p_j^{min\{w_j,s_j\}}$ .

Consequência :

$ab = \left(\pm \prod_{j=1}^r p_j^{w_j} \right) \left(\pm \prod_{j=1}^r p_j^{s_j} \right) = ... = \pm \prod_{j=1}^r p_j^{w_j + s_j }$ . Mas é claro que

$w_j + s_j = max\{w_j ,s_j \} + min\{w_j ,s_j \}$ e com isso

$ab = \pm \prod_{j=1}^r p_j^{max\{w_j ,s_j \} + min\{w_j ,s_j \}} = ... = \left(\pm \prod_{j=1}^r p_j^{max\{w_j ,s_j \}} \right) \left(\pm \prod_{j=1}^r p_j^{min\{w_j ,s_j \}} \right)$ e obtemos a fórmula .

por **Russman** » Qua Mai 21, 2014 19:46

Santhiago,

você conseguiria estender essa fórmula para uma quantidade finita de inteiros?

por **e8group** » Sáb Mai 24, 2014 16:36

Russman escreveu:Santhiago,

você conseguiria estender essa fórmula para uma quantidade finita de inteiros?

Russman , por indução conseguir mostrar que igualdade vale para qualquer quantidade finta de números inteiros , assim sendo , penso que podemos sim estender a fórmula ,isto é , dizer que $, \forall n \in \mathbb{N} , \forall a_1,a_2 , \hdots , a_n \in \mathbb{Z}, | a_1 \cdot a_2 \cdots a_n | = mcm(a_1,\hdots, a_n) mdc(a_1,\hdots, a_n)$
.

O quê acha ?

P.S.:

Falando sobre a fórmula , encontrei em outro fórum de matemática (Está em Inglês) , uma demonstração elementar, usando simples ferramentas , achei muito interessante ! Se quiser ver a a dem . basta acessar

http://math.stackexchange.com/questions ... elcm-a-b-a

por **Russman** » Dom Mai 25, 2014 01:38

Pois é. Eu havia pensado nisso mas achei um tanto ingênuo. Mas, parece que por indução funciona!

Obrigado, Santhiago. (:

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