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por leticiapires52 » Dom Mai 11, 2014 18:31
Descubra qual é o valor de x, sabendo que x é um número natural em que m.m.c (14, x) = 154 e m.d.c (14, x) = 1, então podemos dizer que x será?
a) x é divisível por 11
b) x é maior que 50
c) x é um número par
d) x não é um número primo
e) x é múltiplo de 14
Como calculo isso
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leticiapires52
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por Russman » Dom Mai 11, 2014 21:10
Se
então
não é múltiplo de
e nem de
. É o mesmo que dizer que
e
são primos
entre si.
Se
então deve existir
tal que
. Mas, como
e
não é divisível por
e nem por
, então só pode ser divisível por
.
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por e8group » Dom Mai 11, 2014 23:12
Tudo acima está certo , só acrescentando ...
Há um grande resultado que estabelece a igualdade
.(Embora não pede-se a dedução desta fórmula ,já que sugerir a aplicação da mesma vou postar a minha interpretação de como a mesma foi obtida , que não necessariamente é a mais adequada aos padrões de Teoria do Números uma vez que ainda não estudei isto )
Se quiser ir direto ao ponto ignore a dedução da mesma .
(que condiz com a resposta por Russman )
Obtendo a fórmula .
Seja
inteiros. Seja
o conjuntos de todos os múltiplos (positivos ) de
e
respectivamente .
O menor elemento ,digamos
, que está na interseção de
por
é minimo múltiplo comum de
e
, isto é ,
.
Pelo Teorema fundamental da
aritmética (
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fu ... %C3%A9tica) , existe
primos distintos e inteiros
não negativos tais que
.
.
Segue como definimos
que
, logo para cada
temos
. Mas pela minimalidade de
,obtemos
e assim ,
.
Observe que é isto que fazemos para descobrir o mmc entre números
50 =
40 =
L_1 : 50,100,150, 200,...
L_2: 40,80,120 ,160,200 ,...
e 200 =
Agora sendo mais breve possível ...
E se
fosse o maior divisor de
(isto é
) ?
R.Teríamos
e isto implicaria que
, mas pela maximalidade de
(pois ele é o maior divisor de a e b ) obteríamos
. Assim ,
.
Consequência :
. Mas é claro que
e com isso
e obtemos a fórmula .
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por Russman » Qua Mai 21, 2014 19:46
Santhiago,
você conseguiria estender essa fórmula para uma quantidade finita de inteiros?
"Ad astra per aspera."
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por e8group » Sáb Mai 24, 2014 16:36
Russman escreveu:Santhiago,
você conseguiria estender essa fórmula para uma quantidade finita de inteiros?
Russman , por indução conseguir mostrar que igualdade vale para qualquer quantidade finta de números inteiros , assim sendo , penso que podemos sim estender a fórmula ,isto é , dizer que
.
O quê acha ?
P.S.:
Falando sobre a fórmula , encontrei em outro fórum de matemática (Está em Inglês) , uma demonstração elementar, usando simples ferramentas , achei muito interessante ! Se quiser ver a a dem . basta acessar
http://math.stackexchange.com/questions ... elcm-a-b-a
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por Russman » Dom Mai 25, 2014 01:38
Pois é. Eu havia pensado nisso mas achei um tanto ingênuo. Mas, parece que por indução funciona!
Obrigado, Santhiago. (:
"Ad astra per aspera."
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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