Encontre o valor de z

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Encontre o valor de z

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Encontre o valor de z

Mensagempor manuoliveira » Ter Abr 22, 2014 15:53

(Kreyszig) Ache a solução no plano dos complexos para:
e^z = -2

Resposta: z = ln(2) + \pi i \pm 2n\pi i (n = 0, 1, 2...)

Agradeço desde já quem puder ajudar... ;)
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Re: Encontre o valor de z

Mensagempor e8group » Qua Abr 23, 2014 11:38

Segue-se

e^z = -2 = 2 \cdot (-1) = e^{ln(2)} \cdot e^{i( \pi + 2k\pi) } = e^{ln(2) + i(\pi + 2k\pi)} , k inteiro qualquer .

E com isso obtemos a resposta desejada .

(Aqui utilizamos que qualquer número real positivo x é escrito como x = e^{(ln(x))} e a fórmula de Euler e^{bi} = cos(b) - i sin(b) , nesta mesma formula , quando cos(b) = -1 , sin(b) = 0 e isto ocorre quando b = \pi , ou melhor , quando b = \pi + 2k \pi ; k inteiro devido a sua periodicidade )
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Re: Encontre o valor de z

Mensagempor manuoliveira » Qua Abr 23, 2014 11:56

Muito obrigada!!!!!! :y:
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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