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Números complexos

Números complexos

Mensagempor andersontricordiano » Sex Mar 21, 2014 16:44

Qual é o valor de \sum_{n=0}^{100 i^{n}?

Resposta; 1
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Re: Números complexos

Mensagempor Russman » Sáb Mar 22, 2014 00:46

Esta questão não é difícil.

Lembre-se que i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i e i^4 = 1. Assim,

i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i-1-i+1 = 0

Agora, calculemos i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3} para um k natural qualquer. É fácil notar que

i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3} = i^k + i^k . i + i^k . i^2 + i^ k . i^3 = i^k ( 1+i+i^2+i^3) = i^k( 1+i - 1 - i) = i^k(0) = 0

Ou seja, a soma de 4 potências sucessivas da unidade imaginária é sempre nula.

Como a sua soma será efetuada de 0 até 100 e 100=4.25, então teremos uma primeira parcela que é i^0=1 e mais 25 conjuntos de 4 parcelas de potências sucessivas de i. Daí, como esses 25 conjuntos de parcelas são todos nulos, sobra apenas o número 1.

\sum_{n=0}^{100}i^n = 1+\sum_{n=1}^{100}i^n = 1+ \sum_{k=1+4j,j=0}^{k=25,j=6} i^k + i^{k+1}+ i^{k+2}+ i^{k+3} = 1+\sum_{j=0}^{6} i^{4j}(1+i^2+i^3+i^4) = 1+ \sum_{j=0}^{6} 1(1-1-i+1)=1+0 = 1.


Ou, basta lembrar q essa soma é a soma de uma progressão geométrica de termo primeiro igual a 1 e razão igual a i.

\sum_{n=0}^{N}q^n  = \frac{a^{N+1}-1}{q-1}

Faça q=i e N=100.

\sum_{n=0}^{100}i^n  = \frac{i^{100+1}-1}{i-1} = \frac{i^{100}.i-1}{i-1}=\frac{i^{4.25}.i-1}{i-1} = \frac{(i^{4})^{25}.i-1}{i-1} = \frac{(1)^{25}.i-1}{i-1} = \frac{i-1}{i-1} = 1
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?