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por andersontricordiano » Sex Mar 21, 2014 16:44
Qual é o valor de
![i^{n} i^{n}](/latexrender/pictures/a97f8215fb00aadba5d88ec9870222c2.png)
?
Resposta; 1
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por Russman » Sáb Mar 22, 2014 00:46
Esta questão não é difícil.
Lembre-se que
![i^1 = i i^1 = i](/latexrender/pictures/d1be4775afef6f3cc1372fcea7e845b5.png)
,
![i^2 = -1 i^2 = -1](/latexrender/pictures/3fac904df7095c889e89db3415fbf4fd.png)
,
![i^3 = -i i^3 = -i](/latexrender/pictures/96bb16ffda178a300b96c1e108cef9cf.png)
e
![i^4 = 1 i^4 = 1](/latexrender/pictures/62def9d52cc5fa12fbf036e9b9a16614.png)
. Assim,
![i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i-1-i+1 = 0 i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i-1-i+1 = 0](/latexrender/pictures/41be95fccb73366d99a450c823193f69.png)
Agora, calculemos
![i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3} i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3}](/latexrender/pictures/04b53d27e823c444f7f505cda78fe415.png)
para um k natural qualquer. É fácil notar que
![i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3} = i^k + i^k . i + i^k . i^2 + i^ k . i^3 = i^k ( 1+i+i^2+i^3) = i^k( 1+i - 1 - i) = i^k(0) = 0 i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3} = i^k + i^k . i + i^k . i^2 + i^ k . i^3 = i^k ( 1+i+i^2+i^3) = i^k( 1+i - 1 - i) = i^k(0) = 0](/latexrender/pictures/af180b64476d567b45cd1e8145084eb1.png)
Ou seja, a soma de 4 potências sucessivas da unidade imaginária é sempre nula.
Como a sua soma será efetuada de
![0 0](/latexrender/pictures/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png)
até
![100 100](/latexrender/pictures/f899139df5e1059396431415e770c6dd.png)
e
![100=4.25 100=4.25](/latexrender/pictures/737addaade19ac5b25ba1d6ba3c93f46.png)
, então teremos uma primeira parcela que é
![i^0=1 i^0=1](/latexrender/pictures/119f14d295991274fcc3fb64319b6a47.png)
e mais 25 conjuntos de 4 parcelas de potências sucessivas de
![i i](/latexrender/pictures/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png)
. Daí, como esses 25 conjuntos de parcelas são todos nulos, sobra apenas o número 1.
![\sum_{n=0}^{100}i^n = 1+\sum_{n=1}^{100}i^n = 1+ \sum_{k=1+4j,j=0}^{k=25,j=6} i^k + i^{k+1}+ i^{k+2}+ i^{k+3} = 1+\sum_{j=0}^{6} i^{4j}(1+i^2+i^3+i^4) = 1+ \sum_{j=0}^{6} 1(1-1-i+1)=1+0 = 1 \sum_{n=0}^{100}i^n = 1+\sum_{n=1}^{100}i^n = 1+ \sum_{k=1+4j,j=0}^{k=25,j=6} i^k + i^{k+1}+ i^{k+2}+ i^{k+3} = 1+\sum_{j=0}^{6} i^{4j}(1+i^2+i^3+i^4) = 1+ \sum_{j=0}^{6} 1(1-1-i+1)=1+0 = 1](/latexrender/pictures/84e7ddd57be9de810d9350077e4d8f41.png)
.
Ou, basta lembrar q essa soma é a soma de uma
progressão geométrica de termo primeiro igual a
![1 1](/latexrender/pictures/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png)
e razão igual a
![i i](/latexrender/pictures/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png)
.
![\sum_{n=0}^{N}q^n = \frac{a^{N+1}-1}{q-1} \sum_{n=0}^{N}q^n = \frac{a^{N+1}-1}{q-1}](/latexrender/pictures/2829e1da47a55136372a72858552b897.png)
Faça
![q=i q=i](/latexrender/pictures/2b165b6029dab9f3fa6a5f9e5970790c.png)
e
![N=100 N=100](/latexrender/pictures/2540407e1e660f1407407d6a10f578ba.png)
.
![\sum_{n=0}^{100}i^n = \frac{i^{100+1}-1}{i-1} = \frac{i^{100}.i-1}{i-1}=\frac{i^{4.25}.i-1}{i-1} = \frac{(i^{4})^{25}.i-1}{i-1} = \frac{(1)^{25}.i-1}{i-1} = \frac{i-1}{i-1} = 1 \sum_{n=0}^{100}i^n = \frac{i^{100+1}-1}{i-1} = \frac{i^{100}.i-1}{i-1}=\frac{i^{4.25}.i-1}{i-1} = \frac{(i^{4})^{25}.i-1}{i-1} = \frac{(1)^{25}.i-1}{i-1} = \frac{i-1}{i-1} = 1](/latexrender/pictures/a2898c165b0759a41a57161ad915c408.png)
"Ad astra per aspera."
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Russman
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Números Complexos
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Autor:
Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24
Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.
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