[Números Complexos] Módulo.

por **HCF01** » Dom Fev 02, 2014 15:21

Determine o maior e o menor valores possíveis para |z|, dado que |z + 1/z|= 1. ( módulo de "z" mais "1 sobre z" é igual a 1 )

Tentei tirar o mmc, daí ficou |z²/z + 1/z|= 1, depois |z²+1| / |z|= 1 e então |z²+1|=|z|, só que não sei mais o que fazer. Se alguém puder me explicar eu agradeço.

Resposta: Máx= ?5/2 + 1/2 e mín= ?5/2 - 1/2.

por **HCF01** » Seg Fev 03, 2014 16:14

Achei a resposta nesse site, caso alguém queria ver a resolução. http://pir2.forumeiros.com/t63264-numer ... ulo#223441

por **e8group** » Seg Fev 03, 2014 19:57

Segue outra ...

Pondo W = 1/Z + Z

e utilizando que $\frac{1}{Z} = \frac{Z^{*}}{|Z|^2}$ (onde $Z^{*}$ é o conjugado de

) , temos

$W = \frac{Z^{*}}{|Z|^2} + Z$ . Multiplicando-se ambos lados desta igualdade por $Z^{*}$ ,segue $W \cdot Z^{*} = \left( \frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + Z \cdot Z^{*} = \left( \frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + |Z|^2$ .

Daí , quando tomamos o módulo do número complexo acima , obteremos

$| W \cdot Z^{*}| = | Z^{*}| = |Z| = |\left(\frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + |Z|^2|$ . Porém ,

$|\frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + |Z|^2| \leq |\left(\frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2| + |Z|^2 = |\frac{Z^{*}}{|Z|}|^2 = 1 + |Z|^2$ e com isso ganhamos a desigualdade

$|Z| \leq 1 + |Z|^2$ ou de forma equivalente

$|Z|^2 - |Z| + 1 \geq 0$ .

A solução da inequação acima é um intervalo não degenerado da forma I = [a,b]

. Logo ,

e

. Repare que a,b

são as raízes da eq |Z|^2 - |Z| + 1 =0

.

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