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[Números Complexos] Módulo.

[Números Complexos] Módulo.

Mensagempor HCF01 » Dom Fev 02, 2014 15:21

Determine o maior e o menor valores possíveis para |z|, dado que |z + 1/z|= 1. ( módulo de "z" mais "1 sobre z" é igual a 1 )

Tentei tirar o mmc, daí ficou |z²/z + 1/z|= 1, depois |z²+1| / |z|= 1 e então |z²+1|=|z|, só que não sei mais o que fazer. Se alguém puder me explicar eu agradeço.




Resposta: Máx= √5/2 + 1/2 e mín= √5/2 - 1/2.
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Re: [Números Complexos] Módulo.

Mensagempor HCF01 » Seg Fev 03, 2014 16:14

Achei a resposta nesse site, caso alguém queria ver a resolução. http://pir2.forumeiros.com/t63264-numer ... ulo#223441
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Re: [Números Complexos] Módulo.

Mensagempor e8group » Seg Fev 03, 2014 19:57

Segue outra ...

Pondo W = 1/Z + Z e utilizando que \frac{1}{Z} = \frac{Z^{*}}{|Z|^2} (onde Z^{*} é o conjugado de Z ) , temos

W = \frac{Z^{*}}{|Z|^2}  + Z . Multiplicando-se ambos lados desta igualdade por Z^{*} ,segue W \cdot Z^{*} = \left( \frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + Z \cdot Z^{*} = \left( \frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + |Z|^2 .

Daí , quando tomamos o módulo do número complexo acima , obteremos

| W \cdot Z^{*}| = | Z^{*}| = |Z| = |\left(\frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + |Z|^2| . Porém ,

|\frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2 + |Z|^2| \leq |\left(\frac{Z^{*}}{|Z|}\right)^2| + |Z|^2 = |\frac{Z^{*}}{|Z|}|^2 = 1 + |Z|^2 e com isso ganhamos a desigualdade

|Z| \leq  1 + |Z|^2 ou de forma equivalente

|Z|^2  - |Z| + 1 \geq 0 .

A solução da inequação acima é um intervalo não degenerado da forma I = [a,b] . Logo ,

a = min I e b = max I . Repare que a,b são as raízes da eq |Z|^2  - |Z| + 1 =0 .
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.