[Plano Argand-Gauss] UESB 2011.2

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Mensagempor Leocondeuba » Ter Nov 05, 2013 22:06

Olá a todos. Devo admitir que quase sempre não consigo resolver questões envolvendo o plano de Argand-Gauss desta maneira. Portanto, peço ajuda, pois realmente preciso da resolução para conseguir ter uma base de raciocínio para resolver outras questões parecidas. Obrigado a todos.

Sabe-se que em um quadrilátero convexo qualquer, os pontos médios de seus lados são os vértices de um paralelogramo. Considere o quadrilátero convexo ABCD, com vértices nos pontos do plano de Argand-Gauss, associados aos números complexos z1= 3 + i, z2= -1 + 5i, z3= 3 + 5i e z4= 5 + 2i. Nessas condições, a área do quadrilátero MNPQ determinado pelos pontos médios dos lados de ABCD, em unidades de área, é igual a

01) 12 02) 10 03) 8 04) 6 05) 4
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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