Números complexos !

por **Loretto** » Seg Out 11, 2010 19:07

Os argumentos principais das soluções da equação em z;

iz + 3z* + (z + z*)² - i = 0 , PERTENCE A

A) ] Pi/4 ; 3 Pi / 4 [
B) ] 3 Pi / 4 ; 5 Pi / 4 [
C) ] 5 Pi / 4 ; 3 Pi / 2 [
D) ] Pi/4 ; Pi / 2 [ U ] 3 Pi/2 ; 7 Pi/4 [
E) ] 0 ; Pi/4 [ U ] 7 Pi/4 ; 2 PI [.

OBS : (z* = conjugado de z)

por **MarceloFantini** » Ter Out 19, 2010 18:02

Fazendo $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , fica:

$iz + 3 \overline {z} + (z+ \overline {z})^2 -i = 0$

$i \cos \theta - \sin \theta + (3 \cos \theta - i 3 \sin \theta) + (\cos \theta + i \sin \theta + \cos \theta - i \sin \theta)^2 - i = 0$

$4 \cos^2 \theta + 3 \cos \theta - \sin \theta +i (\cos \theta -3 \sin \theta -1) = 0$

Iguale a parte real e a parte imaginária a zero.

$4 \cos^2 \theta +3 \cos \theta - \sin \theta = 0$

$\cos \theta -3 \sin \theta -1 = 0$

Resolva, sabendo que $0 \leq \theta < 2 \pi$ :

Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda:

$12 \cos^2 \theta + 9 \cos \theta - 3 \sin \theta - \cos \theta + 3 \sin \theta +1 =0$

$12 \cos^2 \theta +8 \cos \theta +1 = 0$

$\Delta = (8)^2 -4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 -48 = 16$

$\cos \theta = \frac{-8 \pm 4}{24}$

$\cos \theta = - \frac{1}{2}$

$\cos \theta = - \frac{1}{6}$

Agora é só ver os intervalos.

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