Qual é divisivel por 6

por **leticiapires52** » Seg Mai 12, 2014 11:43

Considere os números abaixo, sendo n um número natural:
I) ${10}^{n} + 2$
II) $2.{10}^{n}+ 1$
III) ${10}^{n+3} - {10}^{n}$
Quais são divisíveis por 6?
a) Apenas II e III
b) Apenas I e II
c) Apenas III
d) Apenas I
e) Apenas I e III

por **e8group** » Seg Mai 12, 2014 12:55

O primeiro satisfaz . Com certeza você terá uma justificação melhor que a minha , não sei qual ferramenta utilizar , mas usando $(*) a^n - b^n = (a-b ) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}$ obtemos , para n = 2,3,4,...

$10^n + 2 = (10^n - 1^n) + 3 = 3 + 9 \sum_{k=0}^{n-1} 10^k = 3 + 9 + 9 \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \cdot 5^k = 6 \cdot (2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} \cdot 5^{k} ) = 6(2 + 3[5 + 50 + 500 + \cdots + 2^{n-2} \cdot 10^{n-1} ]$ .

Um número é divisível por

se ele for simultaneamente por 3 e 2 , claro . No mínimo ele é par , logo o último digito dele é 0,2,4,6,8 .Agora ,se ele for divisível por

, investigamos certas propriedades . Escreva m = 3 n

(m,n inteiros ) . Podemos representar

por
$sinal(m) \times (d_n d_{n-1} \cdots d_1 d_0)_{10} = sinal(m) times (d_n \cdot 10^{n} + d_{n-1} 10^{n-1} + \cdots + d_1 10 + d_0)$ onde os $d_{i's}$ variam de

a

.

Exemplo : $125 = (125)_{10} = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5\cdot 10^0$ .Segue

$m = 3n = d_n ( \cdot 10^{n} - 1 ) + d_{n-1} (10^{n-1} -1) + \cdots + d_1 \cdot (10 - 1) + (d_n +d_{n-1} + \cdots + d_1 + d_0 )$ . Graças a fatoração a^n -b^n

cada parcela 10^k -1

é divisível por 3 , e com isso a soma dos dígitos também o é .Alternativamente $10^k = 1 \cdot 10^k + 0 \cdot 10^{k-1} + ... + 0 \cdot 10^0 = 1000 \hdots 000$

$(1)_{10} = 0 \cdot 10^k + 0 \cdot 10^{k-1} + ... + 0 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^0 = ( 000000 ... 0001)_{10}$ . Fazendo a subtração de números de mesma base , temos 9999 .... 9999 = 3^2 (11111....1111)

.Logo a soma dos dígitos também são divisível por

.

Este é um resultado do critérios de divisibilidade . Só não sei qual abordagem certa ...

Emfim :
(i)
$10^n + 2 = (10000 ... 0002)_{10}$ . O último dígito é 2 $\implies$ número é par $\implies$ divisível por

.

(ii) A soma dos dígitos é 3 $\implies$ divisível por

.

$\therefore [(i) \wedge (ii) ] \implies 6 | (10^n+2)$ .