Numeros complexoe e trig.

por **lherme2008** » Dom Jul 22, 2012 21:29

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi o matemático com maior destaque no século XIX.
Dentre inúmeras contribuições de Gauss à Matemática, ele é considerado um dos
primeiros matemáticos a associar números complexos a pares ordenados de números
reais. (RIBEIRO, 2010. p. 278).
Três números complexos z1, z2 e z3 são tais que |z1 – z2| = 7, |z2 – z3| = 8 e |z3 – z1| = 9.
Sendo A, B e C os afixos desses números, no plano de Argand-Gauss, pode-se afirmar que a medida,
em u.c. do raio da circunferência inscrita no triângulo ABC, é igual a:

por **fraol** » Seg Jul 23, 2012 16:45

Boa tarde,

Há uma fórmula que relaciona o raio da circunferência inscrita em um triângulo com os seus lados:

Fórmula (*): $r = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$ , onde:

é o raio da circunferência inscrita.

a, b, c

são os lados do triângulo.

$p = \frac{a+b+c}{2}$ (semiperímetro do triângulo).

Essa fórmula é baseada no cálculo da área do triângulo em função dos lados ( $A =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ) e no cálculo da área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita ( A = pr

).

No caso do problema os módulos dos números complexos servem somente para indicar a distância entre os pontos, ou seja, para apontar o tamanho dos lados do triângulo. O triângulo ABC do problema tem lados 7, 8 e 9. No mais é aplicar a fórmula (*) acima.

.

por **e8group** » Seg Jul 23, 2012 17:37

Boa tarde gostaria de compartilhar minha ideia também .

Priemeiro vamos expressar a Área de Do triângulo ABC ,Com base na figura acima veja que ,

$A_{ABC} = \frac{1}{2} |BC|\cdot h$ ,entretanto por outro lado obtemos :

$A_{ABC} = A_{ABM} +A_{ACM} +A_{MBC} = \frac{r}{2}\left(|AB| +|BC| +|AC|\right)$

Com isso vale a seguinte relação :

$r = \frac{|BC| \cdot h}{|AB| +|BC| +|AC|}$ .Lembrando que

|AB| = 7 ; |AC| = 9 ;|BC| = 8

implica $r = \frac{h}{3}$

Cabe a nós determinarmos a altura do triângulo ,para isso segue que :

Utuilizando a lei dos cossenos em ABC obtemos :

$cos(\gamma) = \frac{2}{7}$

Utilizando relações trigonometricas no triângulo ABF , temos :

$cos(\gamma) = \frac{BF}{7} \therefore |BF| = 2$ e finalmente

aplicando pitágoras em $=ABF , h^2 = |AB|^2-|BF|^2 \implies h = \sqrt{|AB|^2-|BF|^2} \implies h =\sqrt{49-4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ .Ou seja ,

$r = \frac{h}{3} \implies r =\frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$

Espero que ajude também !

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