Numeros complexos!

[Estela]

Encontre a equação do 2° grau cujas raizes sao -5 + 2i e -5-2i!
??????????????

[admin]

Olá Estela.
É importante que você comente o que tentou e suas dificuldades.
Pouco ajuda somente ver a resolução.
Exercite especificar sua dúvida, não somente o enunciado.
As dúvidas sempre surgem conforme começamos a entender algo.

Vamos interagir com o exercício!

Comece refletindo sobre o significado de raiz.
Algebricamente, o significa um número ser raiz de uma equação do segundo grau?
E no gráfico, qual o significado de raiz?
Podemos visualizar estas raízes citadas no plano cartesiano?
Estude os casos de raízes reais e raízes imaginárias.

Aguardo.
Bons estudos!

[Estela]

Raiz são os numeros q multiplicados geram outros .Ex 2.2=4, portanto raiz de 4 é 2!
Ser raiz de uma equação de segundo grau significa ser os dois valores , de x.Porque x² divide-se em x` e x``
No grafico a raiz eh o ponto no eixo do x , onde y vale zero!
Estas raizes do exercício podem ser representadas: o -5 no eixo x e o +2i e -2i no eixo y que e o dos numeros complexos!
Não sei se é isso, falei como me veio a cabeça, não sei se me expressei bem.Mas mesmo pensando nisso não sei como começar!
Pensei em usar a "f.geral" ax²+bx+c!mas não deu em nada!Pensei em usar o delta b²-4ac...mas não chego a nenhuma conclusão!
Desculpas...
Mas realmente não consigo resolvê-lo!

[admin]

Olá Estela.

A representação que você citou pode ser feita no plano de Argand-Gauss, ou plano complexo.
No plano cartesiano, onde x e y são reais, estes números complexos não "aparecem".

Tanto é que após, quando você encontrar a função do segundo grau pedida, represente-a no plano cartesiano e reflita sobre esta sua afirmação:

No grafico a raiz eh o ponto no eixo do x , onde y vale zero!

Você verá que como as raízes são complexas, o gráfico não toca o eixo x, diferentemente do que ocorre quando as raízes são reais.



Vou elucidar a idéia da solução.
Nesta equação:



As raízes são ou , pois para ambos os casos teremos:


Veja, se :




Se :





Para encontrar a equação do 2º grau pedida, substitua as raízes informadas aqui:


Sendo:




Cuidado com os sinais ao substituir.
Depois, faça a distributiva.

Também, note que a unidade imaginária é:


Ou seja:


Após a distributiva, cancele algumas parcelas e substitua por .
Você terá a equação do 2º grau!

Por curiosidade, depois vale representar a função relacionada no gráfico para constatar que ela não toca o eixo x.
Comente caso tenha alguma dúvida.

Espero ter ajudado!

[andegledson]

Achei muito interessante o site, por acaso acabei sendo direcionado para ele....ehehhe...ainda bem!!!

Na realidade estou interessado em saber a origem da formula abaixo:

Para encontrar a equação do 2º grau pedida, substitua as raízes informadas aqui:

,

a mesma foi utilizada para solucionar a duvida de estela e, de fato, se aplica muito bem...entretanto, nao tenho conhecimento da mesma, e por fim, gostaria de saber um pouco mais sobre a mesma!!!

[Cleyson007]

Olá Estela.

Encontre a equação do 2° grau cujas raizes sao -5 + 2i e -5-2i



e



Deixe e iguais a "zero" e multiplique-os.





Daí temos a equação:



Qualquer dúvida comente!

[Elcioschin]

andegledson

Procure na Internet ou em algum livro de matemática o assunto "Relações de Girardi";

y = ax² + bx + c ----> Sejam m, n as duas raízes. Pelas relações de Girard:

m + n = - b/a

m*n = c/a

y = a*[x² - (b/a)*x + c/a] ----> y = a*[x² - (m + n)*x + m*n] ----> y = a*(x² - mx - nx + mn) ---> y= a*(x - m)*(x - n)

Viu agora de onde saiu a fórmula que o Fábio mostrou? ----> Substitua m, n por a, b.

[andegledson]

Ok, muito obrigado!!