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Justificar a afirmação

Justificar a afirmação

Mensagempor silvanuno11 » Sex Mai 25, 2012 12:45

Boa tarde,

Alguém me pode ajudar a resolver o seguinte exercício?

Obrigado
Abraço
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silvanuno11
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Re: Justificar a afirmação

Mensagempor Guill » Dom Mai 27, 2012 21:58

Observe que:

{a}_{x} = \sum_{k=0}^{x}\binom{x}{k}(-1)^k.k

{a}_{x} = \sum_{k=0}^{x}\frac{x!}{k!(x-k)!}(-1)^k.k


Vale a pena notar que k = 0 ou k = 1 não tem diferença na somatória, já que no caso de k = 0, o valor é sempre nulo:

{a}_{x} = \sum_{k=1}^{x}\frac{x.(x - 1)!}{(k-1)!(x-k)!}(-1)^k

{a}_{x} = x.\sum_{k=1}^{x}\binom{x-1}{k-1}(-1)^{k-1}.(-1)

{a}_{x} = -x.\sum_{k=1}^{x}\binom{x-1}{k-1}(-1)^{k-1}


Observe esse binômio de Newton. Note que ele é (1 - 1)^{x-1}:

{a}_{x} = 0


Mas isso não é válido para x = 1, onde {a}_{1} = -1



Agora, desenvolvendo a próxima somatória:

\sum_{j=1}^{n-1}\binom{n}{j}(-1)^j.{a}_{j}

\sum_{j=2}^{n-1}\binom{n}{j}(-1)^j.{a}_{j} + \binom{n}{1}(-1)^1.(-1)

\binom{n}{1}(-1)^1.(-1) = n
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Re: Justificar a afirmação

Mensagempor silvanuno11 » Seg Mai 28, 2012 06:36

Bom dia.

Obrigado pela ajuda. Foi importante.

Abraço.
silvanuno11
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}