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Justificar a afirmação

MensagemEnviado: Sex Mai 25, 2012 12:45
por silvanuno11
Boa tarde,

Alguém me pode ajudar a resolver o seguinte exercício?

Obrigado
Abraço

Re: Justificar a afirmação

MensagemEnviado: Dom Mai 27, 2012 21:58
por Guill
Observe que:

{a}_{x} = \sum_{k=0}^{x}\binom{x}{k}(-1)^k.k

{a}_{x} = \sum_{k=0}^{x}\frac{x!}{k!(x-k)!}(-1)^k.k


Vale a pena notar que k = 0 ou k = 1 não tem diferença na somatória, já que no caso de k = 0, o valor é sempre nulo:

{a}_{x} = \sum_{k=1}^{x}\frac{x.(x - 1)!}{(k-1)!(x-k)!}(-1)^k

{a}_{x} = x.\sum_{k=1}^{x}\binom{x-1}{k-1}(-1)^{k-1}.(-1)

{a}_{x} = -x.\sum_{k=1}^{x}\binom{x-1}{k-1}(-1)^{k-1}


Observe esse binômio de Newton. Note que ele é (1 - 1)^{x-1}:

{a}_{x} = 0


Mas isso não é válido para x = 1, onde {a}_{1} = -1



Agora, desenvolvendo a próxima somatória:

\sum_{j=1}^{n-1}\binom{n}{j}(-1)^j.{a}_{j}

\sum_{j=2}^{n-1}\binom{n}{j}(-1)^j.{a}_{j} + \binom{n}{1}(-1)^1.(-1)

\binom{n}{1}(-1)^1.(-1) = n

Re: Justificar a afirmação

MensagemEnviado: Seg Mai 28, 2012 06:36
por silvanuno11
Bom dia.

Obrigado pela ajuda. Foi importante.

Abraço.