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Desenvolvimento de binômios

Desenvolvimento de binômios

Mensagempor Jonatan » Qua Jun 16, 2010 18:12

Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de \left({x}^{2}+\frac{1}{2x} \right)^{n} segundo as potências decrescentes de x estão em PA. O valor de n é um número:

a) primo
b) quadrado perfeito
c) cubo perfeito
d) maior que 9 e menor que 15

Gabarito: c) cubo perfeito.

Alguém poderia resolver essa questão pra mim? Não faço ideia de como desenvolver sem saber o valor do expoente n... Desde já agradeço.
Jonatan
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Re: Desenvolvimento de binômios

Mensagempor Douglasm » Qua Jun 16, 2010 21:34

Olá Jonatan. Comecemos lembrando do desenvolvimento binomial (prestando muita atenção ao 1/2x) e estabelecendo os coeficientes:

1º - C_{n,0} = 1

2º - \frac{C_{n,1}}{2} = \frac{n}{2}

3º - \frac{C_{n,2}}{8} = \frac{n^2-n}{8}

Note que as divisões por 2 e por 8 se deram por termos elevado 1/2x a primeira e segunda potência, respectivamente.

Como esta é uma P.A., os coeficientes se encontram na seguinte forma:

a-r \; , \; a \; , \; a+r

Em que a representa n/2 e r a razão da progressão.

É evidente que:

a-r + a + a+r  = 3a

Do mesmo modo:

1 + \frac{n}{2} + \frac{n^2-n}{8} = 3\frac{n}{2} \; \therefore

8 + 4n + n^2 - n = 12n \therefore

n^2 - 9n + 8 = 0

Encontrando as raízes dessa equação, vemos que n = 8 (haja vista que o resultado n=1 não satisfaz as condições do problema). Continuando, concluímos que n é um cubo perfeito.

Até a próxima.
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Douglasm
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.