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Provar igualdade sem recorrer à Indução Matemática

Provar igualdade sem recorrer à Indução Matemática

Mensagempor EREGON » Ter Abr 14, 2015 06:29

Bom dia,

estou com dificuldades em efectuar esta prova sem recorrer à IM, no entanto tendo como suporte as matérias já dadas, como:

1 - Funções Injetivas, sobrejetivas e bijeticvas.
2 - Cardinalidades.
3 - Coeficientes binomiais.
4 - Permutações e combinações.
5 - Binomio de Newton, triangulo de pascal, lei de simetria, etc.

Tentei fazer este desenvolvimento que não sei se está correto, mas depois não consegui avançar mais *-) :
Anexos
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Re: Provar igualdade sem recorrer à Indução Matemática

Mensagempor EREGON » Qui Abr 16, 2015 14:07

Olá boa tarde,

alguém me poderá auxiliar neste exercício?

Obrigado.
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Re: Provar igualdade sem recorrer à Indução Matemática

Mensagempor e8group » Sex Abr 17, 2015 23:12

Podemos generalizar , computar \sum^n  k^\alpha \binom{n}{k} recursivamente em função das somas ]\sum^n  k^\zeta \binom{n}{k}   ;   0 \leq \zeta  < \alpha .

Defina , para \alpha , n \in \mathbb{Z}_{\geq 0 , \Lambda_n(\alpha) := \sum_{k=1}^n k^\alpha \binom{n}{k} .

Veja que \Lambda_n(0) =  2^n -1 (verifique ) . Fixe \mathbb{Z}_{\geq 0 }\ni n, \alpha > 0 arbitrariamente .

Para cada k \in \{1, \hdots , n \} , veja que


k^\alpha \binom{n}{k} = k^\alpha \frac{n!}{(n-k)!k!} = k^{\alpha -1}\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}  = n k^{\alpha -1}\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} =  n k^{\alpha -1}\frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1) )!(k-1)! } =  n k^{\alpha -1} \binom{n-1}{k-1} .

Pondo , p = k -1 , temos k^\alpha \binom{n}{k} =  n (p+1)^{\alpha -1 } \binom{n-1}{p}  ,     p \in \{0, \hdots , n-1\} .

Como ,

(p+1)^{\alpha -1 }  = \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} p^\zeta \binom{\alpha -1}{\zeta } , substituindo na expressão acima , temos


k^\alpha \binom{n}{k}  = n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} p^\zeta \binom{\alpha -1}{\zeta } \binom{n-1}{p}  , p \in \{0, \hdots , n-1\} . Finalmente , substituindo esta expressão na soma , vem

\sum_{k=1}^n k^\alpha \binom{n}{k} =  \sum_{p=0}^{n-1}   n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} p^\zeta \binom{\alpha -1}{\zeta } \binom{n-1}{p}  = n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} \left(\sum_{p=0}^{n-1}  p^\zeta  \binom{n-1}{p}   \right) \binom{\alpha -1}{\zeta } = n+ n\sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} \left(\sum_{p=1}^{n-1}  p^\zeta  \binom{n-1}{p}   \right) \binom{\alpha -1}{\zeta }  = n+n\sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1}  \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{\alpha -1}{\zeta } , ou seja


\Lambda_n(\alpha) = \boxed{n+ n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1}  \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{\alpha -1}{\zeta }} .

Agora somos capazes facilmente , de computar por exemplo \Lambda_n(1) . De acordo com a formula acima ,


\Lambda_n(1) =n+ n \sum_{\zeta = 0}^{0}  \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{0}{\zeta }  = n+ n \Lambda_{n-1}(0) =  n+ n (2^{n-1} -1) = n2^{n-1} .

o exercício é um corolário do resultado acima ... Segue-se então que

\sum_{k=1}^n k^2 \binom{n}{k} =  \Lambda_n(2) = n+ n \sum_{\zeta = 0}^{1}  \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{1}{\zeta } = n+ n( \Lambda_{n-1}(0)+\Lambda_{n-1}(1) )  = n( 2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}) =  n(n+1)2^{n-2} .
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.