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Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

Mensagempor Ananda » Qua Mar 05, 2008 11:11

Bom dia!

Eis o exercício:

Em \left[0;2\pi \right], se \alpha é a maior raiz da equação, então sen\left(\frac{3\alpha}{4} \right) vale:

Resposta: -1

Como não consegui fazer a fatorial com o editor de fórmulas, anexei a equação.

Eu consegui chegar a resposta, mas creio que deve haver um método mais simples de se resolver...
Eu fiz assim:

- Resolvi as fatoriais, obtendo:
{cos}^{4}x-4{cos}^{3}x+6{cos}^{2}x-4cosx+1=0

- Daí, usei as relações de Girardi e obtive:
I) {r}_{1}+{r}_{2}+{r}_{3}+{r}_{4}=4
II) {r}_{1}{r}_{2}+{r}_{1}{r}_{3}+{r}_{1}{r}_{4}+{r}_{2}{r}_{3}+{r}_{2}{r}_{4}+{r}_{3}{r}_{4}=6
III) {r}_{1}{r}_{2}{r}_{3}+{r}_{1}{r}_{2}{r}_{4}+{r}_{1}{r}_{3}{r}_{4}+{r}_{2}{r}_{3}{r}_{4}=4
IV) {r}_{1}{r}_{2}{r}_{3}{r}_{4}=1

- Daí pelos valores possíveis de seno, o único valor que coresponde às expressões é 1.
E cosx=1 é: {0;2\pi}

alpha é a maior raiz, então é 2\pi
Substituindo:
sen\left(\frac{3.2\pi}{4} \right)
sen\left(\frac{3\pi}{2} \right)=-1sen\left(\frac{3\pi}{2} \right)=-1

Grata desde já!
Anexos
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Editado pela última vez por Ananda em Sex Mar 07, 2008 12:20, em um total de 1 vez.
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Re: Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

Mensagempor admin » Qua Mar 05, 2008 15:24

Olá, Ananda!
Primeiro, apenas um pequeno ajuste nas relações de Girard que você escreveu (provavelmente tenha sido um erro na edição):

Sendo a, b, c, d e e os coeficientes da equação:
a\;cos^{4}x + b\;cos^{3}x + c \;cos^{2}x+ d\;cosx + e = 0

a = 1

b = -4

c = 6

d = -4

e = 1

E as raízes r_1, r_2, r_3 e r_4, as relações serão:

I) r_1+r_2+r_3+r_4 = \frac{-b}{a} = 4

II) r_1r_2+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_3+r_2r_4+r_3r_4= \frac{c}{a} = 6

III) r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4 = \frac{-d}{a} = 4

IV) r_1r_2r_3r_4 = \frac{e}{a} = 1



E sobre a sintaxe LaTeX dos números binomiais, você pode utilizar assim:
Código: Selecionar todos
[tex]{n \choose p}[\tex]

{n \choose p}


Quanto ao outro método mais simples que você perguntou, vou escrever na próxima mensagem.
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Re: Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

Mensagempor admin » Qua Mar 05, 2008 16:22

Ao olharmos esta equação:
{4 \choose 0}cos^{4}x -
{4 \choose 1}cos^{3}x +
{4 \choose 2}cos^{2}x -
{4 \choose 3}cosx + 1 = 0

Os coeficientes lembram o triângulo de Pascal, veja:
triangulo_pascal.jpg


Pois também pode ser escrita assim:
{4 \choose 0}cos^{4}x -
{4 \choose 1}cos^{3}x +
{4 \choose 2}cos^{2}x -
{4 \choose 3}cos^{1}x +
{4 \choose 4}cos^{0}x = 0

-Ou ainda, podemos lembrar dele após o desenvolvimento que você fez dos números binomiais, vendo os coeficientes na quinta linha:
\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}


Um assunto relacionado é o desenvolvimento da potência n-ésima do binômio (x+a), veja:
\left( x+a \right)^0 = 1

\left( x+a \right)^1 = 1x + 1a

\left( x+a \right)^2 = 1x^2 + 2xa + 1a^2

\left( x+a \right)^3 = 1x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + 1a^3

\left( x+a \right)^4 = 1x^4 + 4x^3a + 6x^2a^2 + 4xa^3 + 1a^4


Note que os coeficientes de cada desenvolvimento formam a linha do triângulo de Pascal, sendo o número da linha igual ao expoente de x+a.

É a chamada identidade do binômio de Newton:
\left( x+a \right)^n =

= {n \choose 0} x^n a^0 +
{n \choose 1} x^{n-1} a^1 +
{n \choose 2} x^{n-2} a^2 + \dots +
{n \choose n-1} x^1 a^{n-1} +
{n \choose n} x^0 a^n


Então, podemos identificar esta identidade na equação dada para simplificá-la.
Para isso, ela ainda pode ser convenientemente reescrita assim:

{4 \choose 0}(cos^{4}x)(-1)^0 + {4 \choose 1}(cos^{3}x)(-1)^1 + {4 \choose 2}(cos^{2}x)(-1)^2 + {4 \choose 3}(cos^{1}x)(-1)^3 + {4 \choose 4}(cos^{0}x)(-1)^4 = 0

Portanto, agora a potência do binômio de Newton (antes do desenvolvimento) fica mais evidente, simplificando nossa equação, veja:
\left[ cosx + (-1) \right] ^4 = 0

Vamos então resolvê-la:

\left[ cosx + (-1) \right] ^2 \cdot \left[ cosx + (-1) \right] ^2 = 0

Daqui:
\left[ cosx + (-1) \right] ^2 = 0

\left[ cosx + (-1) \right] \cdot \left[ cosx + (-1) \right] = 0

cosx + (-1) = 0

cosx = 1

Agora, cuidado, antes de analisarmos a condição da raiz do enunciado, assim como o intervalo, temos que determinar a solução geral:
S = \left\{ x \in \Re \;|\; x = 0 + 2k\pi\right\}, sendo k \in \math{Z}.

Somente agora, como o enunciado limita o intervalo em \left[ 0, 2\pi \right], necessariamente, k=1 e então obtemos a maior raiz \alpha:
x = 0 + 2\cdot 1 \cdot \pi = 2\pi = \alpha

\alpha = 2\pi

E o final, você já fez:

sen\left( \frac{3\alpha}{4} \right) =
sen\left( \frac{3 \cdot 2\pi}{4} \right) =
sen\left( \frac{3 \cdot \pi}{2} \right) = -1


Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

Mensagempor Ananda » Qua Mar 05, 2008 16:27

Grata!
Ajudaste sim!
Estou tendo um pouco de problema com equações trigonométricas, porque fazendo de um modo dá uma resposta e fazendo de outro dá várias!
Ananda
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Re: Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

Mensagempor admin » Qua Mar 05, 2008 16:49

Por nada, Ananda.
Quanto ao "melhor" modo de se resolver um exercício, depende mais da preferência de quem resolve.
É claro que há formalidades na resolução, mas estou citando apenas o objetivo final.

Sobre as equações trigonométricas, em geral, quase todas podem ser reduzidas a uma destas três equações:

sen \alpha = sen \beta

cos \alpha = cos \beta

tg \alpha = tg \beta


São as chamadas equações fundamentais.

Então, sugiro revisar bem a resolução destas equações, antes de qualquer outra mais complicada.

Eu fiz destaque na mensagem anterior sobre o conjunto-solução, pois é importante.
Nas funções circulares, temos infinitas soluções, pois o k \in \math{Z} fará as "voltas" no círculo e a sentença da solução geral ainda será verdadeira (sentido horário ou anti-horário).

Há casos em que o intervalo é limitado, como no enunciado. Mas devemos fazer esta análise após encontrarmos o conjunto-verdade.

Bons estudos!
Quando precisar, escreva. Ajudarei se puder.
Até mais!
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.