Achei a questão interessante e , portanto, gostaria de fazer alguns comentários.
De fato, podemos escrever
Aqui fixamos o valor de
e buscamos valores de
tal que
. Evidentemente,
é solução. Note que
Também,
é solução para
. Note que
já que se p é primo(e portanto ímpar)
.
Disto, notamos que
é sempre divisível por
. Assim, reescrevemos
, onde
. [O subíndice p é para mostrar que para cada p existe um polinômio diferente.]
No que o grau de
é
. Como
é primo e todo primo(a exceção de 2) é ímpar o número
é ímpar também. Assim, o grau de
é ímpar e o teorema das raízes assegura que existe ao menos uma raíz real para este. Claro, esta raíz é
como já verificamos anteriormente. De fato, podemos escrever
onde
é o resultado da divisão de
por
.
Outro fato interessante é que
é sempre divisível por
, para p ímpar. Acredito que não seja muito dificil de mostrar isso.
Além disso( o que é um pouco mais difícil) é mostrar que
é também sempre divisível por
.
De fato,
que é nulo toda vez que
, com
. Mas, esta expressão captura todos os números
divisíveis por 6 e , portanto(quase certeza que), todos os primos. Daí,
é sempre divisível por
. Assim, podemos escrever
O problema então se resume a relacionar
com
e estabelecer as condições de existência de raízes reais para o polinômio
. Eu acredito que as mesmas não existam.