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[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 09:32

Bom dia!

Estudo pra concurso em minha casa e após ter resolvido diversas questões triviais de Binômio de Newton com aplicação de formula, me deparei com essa questão aonde não consegui evoluir na sua resolução.

Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. Raramente é verdade que (a+b)^p = a^p+b^p Em alguns casos a igualdade ocorre, quais casos são esses?


Desde já agradeço a atenção de todos.
Humberto Batista
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor e8group » Ter Out 28, 2014 12:32

Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p  = a^p + b^p certamente p é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} que pode ser escrito como

(a+b)^p  =  a^p + b^p  +  \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} .Devemos então estudar quando ,

\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0 para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

\sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k}  =  0   (*) .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k}  b^{p-2-k} x^k .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 13:51

Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?



santhiago escreveu:Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p  = a^p + b^p certamente p é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} que pode ser escrito como

(a+b)^p  =  a^p + b^p  +  \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} .Devemos então estudar quando ,

\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0 para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

\sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k}  =  0   (*) .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k}  b^{p-2-k} x^k .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor e8group » Ter Out 28, 2014 15:48

Humberto Batista escreveu:Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?


Olá ! Não necessariamente , podemos ter pares de números nao nulos os quais satisfazem a equação . Tome a = 3 e b = -3 .De forma geral fixado qualquer b , pondo a = -b tem-se a igualdade para qualquer p primo maior q 2(na verdade p/ qq impar tbm vale ) .Evidentemente temos mais soluções que estas ,explicitar a forma geral das soluções talvez não seja simples , entretanto podemos provar a existência de tal soluções .Todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real ( isso pq estes a imagem destes polinômios oscilam o sinal para valores arbitrariamente grandes ( negativamente e positivamente ) do seu domínio e são funções continuas , daí o teorema do valor intermediário assegura a existência da raiz real , mas não sei se vc está familiarizado com estes conceitos ) .Embora deparamos com a infinitude de pares (a,b) que satisfazem a eq. , há mais pares de números reais que não satisfazem a igualdade do q se possa imaginar .
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Russman » Ter Out 28, 2014 23:50

Achei a questão interessante e , portanto, gostaria de fazer alguns comentários.

De fato, podemos escrever

(a+x)^p - a^p-x^p = W(x)

Aqui fixamos o valor de a e buscamos valores de x tal que W(x)=0. Evidentemente, x=0 é solução. Note que

W(0) = (a+0)^p -a^p - 0^p = a^p-a^p=0

Também, x=-a é solução para p \neq 2. Note que

W(-a) = (a-a)^p -a^p - (-a)^p = -a^p+a^p=0

já que se p é primo(e portanto ímpar) (-a)^p=-a^p.

Disto, notamos que W(x) é sempre divisível por x(x+a). Assim, reescrevemos W(x) = xQ_p(x) , onde

Q_p(x) = \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^{p-k}*x^{k-1}. [O subíndice p é para mostrar que para cada p existe um polinômio diferente.]

No que o grau de Q(x) é g[Q(x)] = p-2. Como p é primo e todo primo(a exceção de 2) é ímpar o número p-2 é ímpar também. Assim, o grau de Q(x) é ímpar e o teorema das raízes assegura que existe ao menos uma raíz real para este. Claro, esta raíz é x=-a como já verificamos anteriormente. De fato, podemos escrever

W(x) = x(x+a)Q'_p(x)

onde Q'_p(x) é o resultado da divisão de Q_p(x) por (x+a).

Outro fato interessante é que W(x) é sempre divisível por pa, para p ímpar. Acredito que não seja muito dificil de mostrar isso.
Além disso( o que é um pouco mais difícil) é mostrar que W(x) é também sempre divisível por (a^2 + ax+x^2).

De fato,

W\left ( -\frac{a}{2}(1 \pm i\sqrt{3}) \right ) = a^p \left [ 2\cos(p\frac{\pi}{3})-1 \right ]

que é nulo toda vez que p = 6k \pm 1, com k=1,2,3,.... Mas, esta expressão captura todos os números p \pm 1 divisíveis por 6 e , portanto(quase certeza que), todos os primos. Daí, W(x) é sempre divisível por (a^2 + ax+x^2). Assim, podemos escrever

W(x) = pax(x+a)(a^2+ax+x^2)^m.R(x)

O problema então se resume a relacionar m com p e estabelecer as condições de existência de raízes reais para o polinômio R(x). Eu acredito que as mesmas não existam.
"Ad astra per aspera."
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D


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