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[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 09:32

Bom dia!

Estudo pra concurso em minha casa e após ter resolvido diversas questões triviais de Binômio de Newton com aplicação de formula, me deparei com essa questão aonde não consegui evoluir na sua resolução.

Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. Raramente é verdade que (a+b)^p = a^p+b^p Em alguns casos a igualdade ocorre, quais casos são esses?


Desde já agradeço a atenção de todos.
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor e8group » Ter Out 28, 2014 12:32

Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p  = a^p + b^p certamente p é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} que pode ser escrito como

(a+b)^p  =  a^p + b^p  +  \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} .Devemos então estudar quando ,

\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0 para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

\sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k}  =  0   (*) .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k}  b^{p-2-k} x^k .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 13:51

Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?



santhiago escreveu:Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p  = a^p + b^p certamente p é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} que pode ser escrito como

(a+b)^p  =  a^p + b^p  +  \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} .Devemos então estudar quando ,

\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0 para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

\sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k}  =  0   (*) .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k}  b^{p-2-k} x^k .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor e8group » Ter Out 28, 2014 15:48

Humberto Batista escreveu:Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?


Olá ! Não necessariamente , podemos ter pares de números nao nulos os quais satisfazem a equação . Tome a = 3 e b = -3 .De forma geral fixado qualquer b , pondo a = -b tem-se a igualdade para qualquer p primo maior q 2(na verdade p/ qq impar tbm vale ) .Evidentemente temos mais soluções que estas ,explicitar a forma geral das soluções talvez não seja simples , entretanto podemos provar a existência de tal soluções .Todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real ( isso pq estes a imagem destes polinômios oscilam o sinal para valores arbitrariamente grandes ( negativamente e positivamente ) do seu domínio e são funções continuas , daí o teorema do valor intermediário assegura a existência da raiz real , mas não sei se vc está familiarizado com estes conceitos ) .Embora deparamos com a infinitude de pares (a,b) que satisfazem a eq. , há mais pares de números reais que não satisfazem a igualdade do q se possa imaginar .
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Russman » Ter Out 28, 2014 23:50

Achei a questão interessante e , portanto, gostaria de fazer alguns comentários.

De fato, podemos escrever

(a+x)^p - a^p-x^p = W(x)

Aqui fixamos o valor de a e buscamos valores de x tal que W(x)=0. Evidentemente, x=0 é solução. Note que

W(0) = (a+0)^p -a^p - 0^p = a^p-a^p=0

Também, x=-a é solução para p \neq 2. Note que

W(-a) = (a-a)^p -a^p - (-a)^p = -a^p+a^p=0

já que se p é primo(e portanto ímpar) (-a)^p=-a^p.

Disto, notamos que W(x) é sempre divisível por x(x+a). Assim, reescrevemos W(x) = xQ_p(x) , onde

Q_p(x) = \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^{p-k}*x^{k-1}. [O subíndice p é para mostrar que para cada p existe um polinômio diferente.]

No que o grau de Q(x) é g[Q(x)] = p-2. Como p é primo e todo primo(a exceção de 2) é ímpar o número p-2 é ímpar também. Assim, o grau de Q(x) é ímpar e o teorema das raízes assegura que existe ao menos uma raíz real para este. Claro, esta raíz é x=-a como já verificamos anteriormente. De fato, podemos escrever

W(x) = x(x+a)Q'_p(x)

onde Q'_p(x) é o resultado da divisão de Q_p(x) por (x+a).

Outro fato interessante é que W(x) é sempre divisível por pa, para p ímpar. Acredito que não seja muito dificil de mostrar isso.
Além disso( o que é um pouco mais difícil) é mostrar que W(x) é também sempre divisível por (a^2 + ax+x^2).

De fato,

W\left ( -\frac{a}{2}(1 \pm i\sqrt{3}) \right ) = a^p \left [ 2\cos(p\frac{\pi}{3})-1 \right ]

que é nulo toda vez que p = 6k \pm 1, com k=1,2,3,.... Mas, esta expressão captura todos os números p \pm 1 divisíveis por 6 e , portanto(quase certeza que), todos os primos. Daí, W(x) é sempre divisível por (a^2 + ax+x^2). Assim, podemos escrever

W(x) = pax(x+a)(a^2+ax+x^2)^m.R(x)

O problema então se resume a relacionar m com p e estabelecer as condições de existência de raízes reais para o polinômio R(x). Eu acredito que as mesmas não existam.
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


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Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59


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