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[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 09:32

Bom dia!

Estudo pra concurso em minha casa e após ter resolvido diversas questões triviais de Binômio de Newton com aplicação de formula, me deparei com essa questão aonde não consegui evoluir na sua resolução.

Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. Raramente é verdade que (a+b)^p = a^p+b^p Em alguns casos a igualdade ocorre, quais casos são esses?


Desde já agradeço a atenção de todos.
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor e8group » Ter Out 28, 2014 12:32

Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p  = a^p + b^p certamente p é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} que pode ser escrito como

(a+b)^p  =  a^p + b^p  +  \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} .Devemos então estudar quando ,

\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0 para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

\sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k}  =  0   (*) .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k}  b^{p-2-k} x^k .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 13:51

Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?



santhiago escreveu:Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p  = a^p + b^p certamente p é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} que pode ser escrito como

(a+b)^p  =  a^p + b^p  +  \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} .Devemos então estudar quando ,

\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0 para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

\sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k}  =  0   (*) .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2}  \binom{p}{k}  b^{p-2-k} x^k .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor e8group » Ter Out 28, 2014 15:48

Humberto Batista escreveu:Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?


Olá ! Não necessariamente , podemos ter pares de números nao nulos os quais satisfazem a equação . Tome a = 3 e b = -3 .De forma geral fixado qualquer b , pondo a = -b tem-se a igualdade para qualquer p primo maior q 2(na verdade p/ qq impar tbm vale ) .Evidentemente temos mais soluções que estas ,explicitar a forma geral das soluções talvez não seja simples , entretanto podemos provar a existência de tal soluções .Todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real ( isso pq estes a imagem destes polinômios oscilam o sinal para valores arbitrariamente grandes ( negativamente e positivamente ) do seu domínio e são funções continuas , daí o teorema do valor intermediário assegura a existência da raiz real , mas não sei se vc está familiarizado com estes conceitos ) .Embora deparamos com a infinitude de pares (a,b) que satisfazem a eq. , há mais pares de números reais que não satisfazem a igualdade do q se possa imaginar .
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Re: [Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

Mensagempor Russman » Ter Out 28, 2014 23:50

Achei a questão interessante e , portanto, gostaria de fazer alguns comentários.

De fato, podemos escrever

(a+x)^p - a^p-x^p = W(x)

Aqui fixamos o valor de a e buscamos valores de x tal que W(x)=0. Evidentemente, x=0 é solução. Note que

W(0) = (a+0)^p -a^p - 0^p = a^p-a^p=0

Também, x=-a é solução para p \neq 2. Note que

W(-a) = (a-a)^p -a^p - (-a)^p = -a^p+a^p=0

já que se p é primo(e portanto ímpar) (-a)^p=-a^p.

Disto, notamos que W(x) é sempre divisível por x(x+a). Assim, reescrevemos W(x) = xQ_p(x) , onde

Q_p(x) = \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^{p-k}*x^{k-1}. [O subíndice p é para mostrar que para cada p existe um polinômio diferente.]

No que o grau de Q(x) é g[Q(x)] = p-2. Como p é primo e todo primo(a exceção de 2) é ímpar o número p-2 é ímpar também. Assim, o grau de Q(x) é ímpar e o teorema das raízes assegura que existe ao menos uma raíz real para este. Claro, esta raíz é x=-a como já verificamos anteriormente. De fato, podemos escrever

W(x) = x(x+a)Q'_p(x)

onde Q'_p(x) é o resultado da divisão de Q_p(x) por (x+a).

Outro fato interessante é que W(x) é sempre divisível por pa, para p ímpar. Acredito que não seja muito dificil de mostrar isso.
Além disso( o que é um pouco mais difícil) é mostrar que W(x) é também sempre divisível por (a^2 + ax+x^2).

De fato,

W\left ( -\frac{a}{2}(1 \pm i\sqrt{3}) \right ) = a^p \left [ 2\cos(p\frac{\pi}{3})-1 \right ]

que é nulo toda vez que p = 6k \pm 1, com k=1,2,3,.... Mas, esta expressão captura todos os números p \pm 1 divisíveis por 6 e , portanto(quase certeza que), todos os primos. Daí, W(x) é sempre divisível por (a^2 + ax+x^2). Assim, podemos escrever

W(x) = pax(x+a)(a^2+ax+x^2)^m.R(x)

O problema então se resume a relacionar m com p e estabelecer as condições de existência de raízes reais para o polinômio R(x). Eu acredito que as mesmas não existam.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}