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Binomio de newton ITA

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Mensagempor Ovelha » Ter Abr 15, 2014 16:09

Qual o coeficiente de x^17 no desenvolvimento de (1+x^5+x^7)^20
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor e8group » Ter Abr 15, 2014 23:35

Deixe x^5 em evidencia , teremos


(1 + x^5 +x^7)^{20} = (1 +[x^5(1 +x^2)])^20 .Pelo teorema binomial ,1 +[x^5(1 +x^2)])^20=   \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} [x^5(1+x^2)]^k  =  \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} x^{5k}(1+x^2)^k  = 1 +  \binom{20}{1}x^5(1+x^2 ) + \binom{20}{2}x^{10}(1+x^2)^2 + \binom{20}{3}x^{15}(1 +x^2)^3 + \sum_{k=4}^{20} \binom{20}{k} [x^5(1+x^2)]^k .

O termo x^{17} é oriundo da 4 parcela C_{20,3} x^{15}(1+x^2)^3 . Basta desenvolver para encontrar o coefc.


Observe que nas parcelas , \C_{20,k} x^{5k}(1+x^2)^k , o grau de x será sempre menor que 17 quando k \leq 2(afinal de contas k \leq 2  \implies  5k  + 2k  \leq 14) e maior que 17 quando k > 3 (afinal de contas k \geq 4  \implies  5k > 17 )   \geq) .
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor Ovelha » Qua Abr 16, 2014 08:24

valeu pela ajuda, tô novo no assunto vou tentar desenvolver e se tiver problemas vou pedir sua ajuda, tudo bem?

Deus abençoe
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor e8group » Qua Abr 16, 2014 10:19

Tranquilo , qualquer dúvida só dizer .
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor Ovelha » Qua Abr 16, 2014 13:16

Olá, tudo bem. Comecei a fazer agora não estou conseguindo passar da combinação, estou tendo problemas no desenvolvimento,não consigo visualizar como desenvolver.

Desculpe pelo aluguel

Deus abençoe
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor e8group » Qua Abr 16, 2014 15:23

OK . :

Temos \binom{20}{3} x^{15}(1+x)^3 e (1+x^2)^3 = (1+x)(1+x^2)^2 = (1+x)(1 + 2x^2 + x^4) =  1 + 2x^2 + x^4 + x + 2x^3 + x^4 . O único termo que nos interessa é 2x^2 , pois x^{15} x^2 = x^{17} . Então o coefc. é 2  \binom{20}{3}  = 2 \cdot \frac{20!}{3! 17!} = 2 \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{6 17!} = 6 \cdot 20 \cdot 19  =2280 .
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor Ovelha » Qui Abr 17, 2014 15:05

Valeu Santhiago, contudo eu estava olhando e descobri que as possiveis respostas da questão colocads como opção foram:
a) 0
b)3000
c)1210
d)3420
e)4000

Continuo contando com sua ajuda

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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor e8group » Qui Abr 17, 2014 17:42

Perdão ! Na correria acabei digitando errado . Vamos lá , sabemos que o termo da forma \lambda_1 x^{17} vem da expressão \binom{20}{17} x^{15}(1+x^2)^3 . Ao desenvolvermos (1+x^2)^2 precisaremos de \lambda_2 x^2 . Pois , produto de números de mesma base conserva a base e soma os expoentes . Logo o coef. será \lambda_2 \binom{20}{17}  = \lambda_2 \cdot 1140 . Agora vamos determinar \lambda_2 .

Vamos utilizar o teorema binomial (será + rápido !!!)


(1+x^2)^3 = \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k}(x^{2}))^k \cdot 1^{3-k}  =  \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k} x^{2k} . Precisamos apenas de \binom{3}{1} x^{2 \cdot 1} =   \frac{3!}{1!(3-1)!} x^2 = 3x^2 . Assim , o nosso \lambda_2 é 3 , logo a resposta será

\lambda_2 \binom{20}{17}  = \lambda_2 \cdot 1140 = 3  \cdot 1140 . Por favor , agora check a resposta .
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor Ovelha » Qui Abr 17, 2014 21:02

Muito obrigado, se você tiver um bom material de binômio estilo ita com questões resolvidas e comentadas. Aceito receber o link ou pdf para estudo,

Deus abençoe
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor e8group » Qui Abr 17, 2014 22:07

De nada . Conheço um site que pode ser útil para vc : http://www.rumoaoita.com/site/
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor Ovelha » Sáb Abr 19, 2014 13:48

Valeu pela dica. Agora desejo sabaer uma duvida. Ao escrever "Ao desenvolvermos (1+x^2)^2 " na resposta os termos dentro doparenteses é elevado a 2 ou 3.

Obrigado
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor e8group » Sáb Abr 19, 2014 14:00

OMG , pensei certo e escrevi errado de novo .

O certo é ao desenvolvermos (1+x^2)^3 ... . As potências de (x^2) serão sempre 0,1,2,3 . Todos naturais menores que 3 , Ou ainda , As potências de x serão 0,2,4,6 .

Lembre-se que ao desenvolver (a+b)^n cada parcela será da forma a^k b^{n-k} com k = 0,1,2,\hdots , n . Portanto , as potências de a ,b são naturais variando de zero até n .
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Re: Binomio de newton ITA

Mensagempor Ovelha » Sáb Abr 19, 2014 14:09

Muito obrigADOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO.

DEUS ABENÇOE
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?