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(UEPG) - socorro

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Mensagempor Jhennyfer » Seg Abr 01, 2013 00:10

No desenvolvimento do binômio (ax+by)^5, os coeficientes dos monômios x^2y^3 e xy^4 são, respectivamente, iguais a 720 e 240. A respeito do desenvolvimento desse binômio segundo potências descrescentes de x, sendo "a" e "b" números reais, assinale o que for correto:

(01) a+b=05
(02) "a" é um número ímpar.
(04) O ultimo termo do desenvolvimento é 32y^5
(08) O segundo termo do desenvolvimento é 810x^4.y
(16) O primeiro termo do desenvolvimento é 243x^5
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Re: (UEPG) - socorro

Mensagempor Russman » Seg Abr 01, 2013 01:37

Lembre-se que

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k.

Esta é a forma comparta de expressarmos o desenvolvimento polinomial.

No seu caso temos (ax+by)^5, de forma que temos de substituir na fórmula acima o x por ax, o y por by e tomar n=5. Assim,

(ax+by)^5 = \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(ax)^{5-k}(by)^k.

Agora observe que para gerar o termo x^2y^3 temos de ter k=3, pois o expoente de x na fórmula é 5-k que tem de ser 2 ao tempo de que o expoente de y é simplesmente k que é 3. Assim, para k=3, temos que o coeficiente de x^2y^3 é

c_k=c_3 = \binom{5}{3}a^2.b^3 = 10a^2b^3

que pelo enunciado deve ser 10a^2b^3 = 720.

Para o coeficiente de xy^4 basta tomar o mesmo raciocínio. Encontramos k=4. Assim,

c_4 = \binom{5}{4}a.b^4 = 5ab^4,

que deve ser 5ab^4 = 240. Portanto, temos duas relações para a e b:

\left\{\begin{matrix}
10a^2b^3 = 720\\ 
5ab^4 = 240
\end{matrix}\right.

que podemos simplificar para

\left\{\begin{matrix}
a^2b^3 = 72\\ 
ab^4 = 48
\end{matrix}\right..

Você pode encontrar os valores de a e b de diversas maneiras. Eu sugiro a seguinte: isole o a na 2° equação e substitua na 1°.

\left\{\begin{matrix}
a^2b^3 = 72\\ 
a= \frac{48}{b^4}
\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2b^3=72\Rightarrow \left ( \frac{48}{b^4} \right )^2b^3=72

de modo que

\left ( \frac{48}{b^4} \right )^2b^3=72 \Rightarrow b^5 = 32 \Rightarrow b=2

e portanto,

a = \frac{48}{2^4} = \frac{48}{16} = 3.

Agora você já tem os valores de a e b para fazer o desenvolvimento do polinômio e julgar as afirmativas.
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Re: (UEPG) - socorro

Mensagempor Jhennyfer » Seg Abr 01, 2013 02:13

Não acredito q me confundi numa coisa tão boba! Muito obrigado, ficou tudo muito claro ;)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}